Demonstre que
. Use este resultado para encontrar uma expressão para
.
Passo 1
Oi! Vamos resolver juntos esse exercício de trigonometria. A questão pede para a gente demonstrar a fórmula da tangente do dobro do ângulo, ou seja, mostrar que
. Depois disso, vamos usar esse resultado para encontrar uma expressão para
. Para isso, vamos precisar entender as identidades trigonométricas, especificamente as fórmulas de adição de ângulos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da tangente da soma de dois ângulos. A fórmula geral é:
Aqui, vamos aplicar essa fórmula para encontrar
. Para isso, vamos considerar
e
, ou seja, calcular
.
Passo 3
Aplicando a fórmula da soma de ângulos:
Assim, demonstramos que
.
Passo 4
Agora, queremos encontrar uma expressão para
. Podemos pensar em
como
, ou seja,
. Então, podemos usar a fórmula que acabamos de demonstrar, substituindo
por
.
Aplicando a fórmula:
Passo 5
Já sabemos que
. Vamos substituir essa expressão na fórmula que encontramos para
:
Agora, vamos simplificar essa expressão.
Passo 6
Primeiro, simplifiquemos o numerador:
Em seguida, simplifiquemos o denominador:
Simplificando o numerador do denominador:
Passo 7
Agora, substituímos de volta na expressão de
:
Essa é a expressão simplificada para
.
Resposta
A expressão para
é:
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para estimar os seguintes valores
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