Demonstre que tan(2x) = 2 * tan(x) / (1 - tan(x)^2). Use este resultado para encontrar uma expressão para tan(4 x).

Passo 1

Oi! Vamos resolver juntos esse exercício de trigonometria. A questão pede para a gente demonstrar a fórmula da tangente do dobro do ângulo, ou seja, mostrar que . Depois disso, vamos usar esse resultado para encontrar uma expressão para . Para isso, vamos precisar entender as identidades trigonométricas, especificamente as fórmulas de adição de ângulos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da tangente da soma de dois ângulos. A fórmula geral é:
Aqui, vamos aplicar essa fórmula para encontrar . Para isso, vamos considerar e , ou seja, calcular .

Passo 3

Aplicando a fórmula da soma de ângulos:
Assim, demonstramos que .

Passo 4

Agora, queremos encontrar uma expressão para . Podemos pensar em como , ou seja, . Então, podemos usar a fórmula que acabamos de demonstrar, substituindo x por .
Aplicando a fórmula:

Passo 5

Já sabemos que . Vamos substituir essa expressão na fórmula que encontramos para :
Agora, vamos simplificar essa expressão.

Passo 6

Primeiro, simplifiquemos o numerador:
Em seguida, simplifiquemos o denominador:
Simplificando o numerador do denominador:

Passo 7

Agora, substituímos de volta na expressão de :
Essa é a expressão simplificada para .

Resposta

A expressão para é:

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