Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=1^infty (-1)^n x^nn 2^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita do tipo sumn=1^infty (-1)^n x^nn 2^n e precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso faz parte do estudo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Razão, que ajuda a determinar até onde a série “funciona” ou converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Critério da Razão. Esse critério diz que para uma série sum an, o raio de convergência R pode ser encontrado calculando o limite limn to infty | an+1an |. Se esse limite existe e é igual a L, então o raio de convergência é R = 1L.

Passo 3

Vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = (-1)^n x^nn 2^n
Agora, vamos calcular an+1an:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | -x2 cdot nn+1 | = limn to infty | x2 cdot nn+1 | = |x|2 cdot 1 = |x|2
Segundo o Critério da Razão, para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
|x|2 < 1 implies |x| < 2
Então, o raio de convergência R é 2.

Passo 5

Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que |x| < 2, então o intervalo é -2 < x < 2. Mas precisamos verificar os pontos finais x = -2 e x = 2 para ver se a série converge nesses valores.
Para x = 2:
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^n 2^nn 2^n = sumn=1^infty (-1)^nn
Essa é a série alternada de Leibniz, que converge.
Para x = -2:
A série se torna:
sumn=1^infty (-1)^n (-2)^nn 2^n = sumn=1^infty (2)^nn 2^n = sumn=1^infty 1n
Essa é a série harmônica, que não converge.

Resposta

O raio de convergência é R = 2 e o intervalo de convergência é -2 < x <= 2.

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