Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma série infinita do tipo e precisa encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência dessa série. Isso faz parte do estudo de séries de potências na matemática. Para resolver isso, vamos usar o Critério da Razão, que ajuda a determinar até onde a série “funciona” ou converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Critério da Razão. Esse critério diz que para uma série , o raio de convergência pode ser encontrado calculando o limite . Se esse limite existe e é igual a L, então o raio de convergência é R = 1L.
Passo 3
Vamos identificar o termo geral da nossa série:
an = (-1)^n x^nn 2^n
Agora, vamos calcular an+1an:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
limn to infty | an+1an | = limn to infty | -x2 cdot nn+1 | = limn to infty | x2 cdot nn+1 | = |x|2 cdot 1 = |x|2
Segundo o Critério da Razão, para a série convergir, esse limite deve ser menor que 1:
|x|2 < 1 implies |x| < 2
Então, o raio de convergência R é 2.
Passo 5
Agora, precisamos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que |x| < 2, então o intervalo é -2 < x < 2. Mas precisamos verificar os pontos finais x = -2 e x = 2 para ver se a série converge nesses valores.