Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série
. Aqui, estamos lidando com séries de potências, um tema importante em cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para uma série
, se
, então:
- Se
, a série converge. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Passo 3
Identificamos
an+1an = (-3)^n+1(x-1)^n+1raizn+2 cdot raizn+1(-3)^n(x-1)^n = (-3)(x-1) cdot raizn+1n+2 . Agora, calculamos
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando
L = limn to infty | (-3)(x-1) cdot raizn+1n+2 | = | -3(x-1) | cdot limn to infty raizn+1n+2 = 3|x-1| cdot 1 = 3|x-1| tende ao infinito:
Passo 5
Para que a série convirja, queremos que
3|x-1| < 1 implies |x-1| < 13 :
Isso nos dá o raio de convergência
.
Passo 6
Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que
1 - 13 < x < 1 + 13 implies 23 < x < 43 , então:
Passo 7
Por fim, precisamos verificar as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
- Para
:sumn=0^infty (-3)^n(23-1)^nraizn+1 = sumn=0^infty (-3)^n(-13)^nraizn+1 = sumn=0^infty 1raizn+1
Esta é a série harmônica, que sabemos que diverge.
- Para
:
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Convergência Alternada.
Resposta
O raio de convergência é
e o intervalo de convergência é
.
Exercícios relacionados
Determine
d f / d x em cada caso
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Demonstre que
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tan(4 x) .
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7^(2/3)