Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série. sumn=0^infty (-3)^n(x-1)^nraizn+1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série . Aqui, estamos lidando com séries de potências, um tema importante em cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste nos diz que para uma série , se , então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Identificamos an+1an = (-3)^n+1(x-1)^n+1raizn+2 cdot raizn+1(-3)^n(x-1)^n = (-3)(x-1) cdot raizn+1n+2 . Agora, calculamos :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty | (-3)(x-1) cdot raizn+1n+2 | = | -3(x-1) | cdot limn to infty raizn+1n+2 = 3|x-1| cdot 1 = 3|x-1| tende ao infinito:

Passo 5

Para que a série convirja, queremos que 3|x-1| < 1 implies |x-1| < 13 :
Isso nos dá o raio de convergência .

Passo 6

Agora, determinamos o intervalo de convergência. Sabemos que 1 - 13 < x < 1 + 13 implies 23 < x < 43 , então:

Passo 7

Por fim, precisamos verificar as extremidades do intervalo para ver se a série converge nesses pontos.
  • Para sumn=0^infty (-3)^n(23-1)^nraizn+1 = sumn=0^infty (-3)^n(-13)^nraizn+1 = sumn=0^infty 1raizn+1 :
sumn=0^infty (-3)^n(43-1)^nraizn+1 = sumn=0^infty (-3)^n(13)^nraizn+1 = sumn=0^infty (-1)^nraizn+1
Esta é a série harmônica, que sabemos que diverge.
  • Para :
Esta é uma série alternada que converge pelo Teste da Convergência Alternada.

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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