integral0^3 integral1^2 x^2+y^2 d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla: . Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 3

Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
integral1^2 x^2 , dy + integral1^2 y^2 , dy

Passo 4

Integrando a primeira parte x^2 cdot (y) g|1^2 = x^2 cdot (2 - 1) = x^2 :
Como é constante em relação a , a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar a segunda parte y^33 g|1^2 = 2^33 - 1^33 = 83 - 13 = 73 :
A integral de em relação a é . Então:

Passo 6

Agora, somamos os resultados das duas integrais:
x^2 + 73
Então, a integral interna resulta em .

Passo 7

Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^3 ( x^2 + 73 ) , dx , na integral externa:

Passo 8

Vamos separar essa integral também:
integral0^3 x^2 , dx + integral0^3 73 , dx

Passo 9

Integrando a primeira parte x^33 g|0^3 = 3^33 - 0^33 = 273 - 0 = 9 :
A integral de em relação a é . Então:

Passo 10

Agora, integrando a segunda parte 73 cdot (x) g|0^3 = 73 cdot (3 - 0) = 73 cdot 3 = 7 :
Como é constante, a integral fica:

Passo 11

Somando os resultados das duas integrais:
9 + 7 = 16

Resposta

O valor da integral dupla é 16.

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