Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla: . Esse tipo de integral faz parte do conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais múltiplas. Para resolver, vamos precisar entender como integrar funções de duas variáveis, primeiro em relação a e depois em relação a .
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna, que é . Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .
Passo 3
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Passo 4
Integrando a primeira parte :
Como é constante em relação a , a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar a segunda parte y^33 g|1^2 = 2^33 - 1^33 = 83 - 13 = 73 :
A integral de em relação a é . Então:
Passo 6
Agora, somamos os resultados das duas integrais:
x^2 + 73
Então, a integral interna resulta em .
Passo 7
Agora, vamos integrar o resultado obtido em relação a integral0^3 ( x^2 + 73 ) , dx , na integral externa:
Passo 8
Vamos separar essa integral também:
integral0^3 x^2 , dx + integral0^3 73 , dx
Passo 9
Integrando a primeira parte x^33 g|0^3 = 3^33 - 0^33 = 273 - 0 = 9 :
A integral de em relação a é . Então:
Passo 10
Agora, integrando a segunda parte 73 cdot (x) g|0^3 = 73 cdot (3 - 0) = 73 cdot 3 = 7 :