Determine quais as seguintes matrizes são unitárias.
(i)
(ii)
(iii)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar quais das matrizes A, B e C são unitárias. Matriz unitária é aquela que, quando multiplicada pela sua conjugada transposta, resulta na matriz identidade. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é a conjugada transposta e como multiplicar matrizes. Vamos verificar cada matriz uma por uma.

Passo 2

Matriz A
Primeiro, vamos analisar a matriz :
Passo 2.1: Encontrar a conjugada transposta de , que é a matriz obtida trocando as linhas e colunas e substituindo cada elemento por sua conjugada complexa. A conjugada de um número complexo é .
Então, a conjugada transposta é:
Passo 2.2: Agora, multiplicamos por :
Calculando a multiplicação:
Simplificando os termos:
Como , substituímos:
Passo 2.3: Comparando com a matriz identidade :
Vemos que não é igual a porque os elementos fora da diagonal não são zero. Portanto, a matriz não é unitária.

Passo 3

Matriz B
Vamos agora analisar a matriz :
Passo 3.1: Encontrar a conjugada transposta de , :
Passo 3.2: Multiplicar por :
Simplificando os termos:
Como :
Passo 3.3: Comparando com a matriz identidade , vemos que são iguais. Portanto, a matriz é unitária.

Passo 4

Matriz C
Agora, vamos verificar a matriz :
Passo 4.1: Encontrar a conjugada transposta de , :
Passo 4.2: Multiplicar por :
Devido ao tamanho da matriz, a multiplicação será um pouco mais trabalhosa. Vamos calcular elemento por elemento.
Por exemplo, o elemento (1,1):
Outros elementos, como (1,2), (1,3), etc., não resultarão em zero após a multiplicação. Por exemplo, o elemento (1,2):
Passo 4.3: Como nem todos os elementos fora da diagonal são zero e os elementos da diagonal são 1, a matriz não é a identidade. Portanto, a matriz não é unitária.

Resposta

A única matriz unitária entre as apresentadas é a matriz B.

Exercícios relacionados

Num dado dia, cada aluno está doente ou saudável. Dos alunos que estão saudáveis hoje, estarão saudáveis amanhã. Dos alunos que estão doentes hoje, estarão doentes amanhã.
(a) Qual é a matriz de transição da Cadeia de Markov representada por esta situação?
Demonstre o teorema da associatividade da multplicação de matrizes, isto é, mostre que, para matrizes e , com todas pertencendo ao e com todos os produtos definidos,
Mostre que a transformação linear definida por
é invertível e determine sua inversa.
Mostre que a transformação linear definida por
é invertível e determine sua inversa.