Determine quais as seguintes matrizes são unitárias.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar quais das matrizes A, B e C são unitárias. Matriz unitária é aquela que, quando multiplicada pela sua conjugada transposta, resulta na matriz identidade. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é a conjugada transposta e como multiplicar matrizes. Vamos verificar cada matriz uma por uma.
Passo 2
Matriz A
Primeiro, vamos analisar a matriz A = i2 & raiz32 raiz32 & -i2 :
A^dag>=r = -i2 & raiz32 raiz32 & i2
Passo 2.1: Encontrar a conjugada transposta de A^dag>=r A = -i2 & raiz32 raiz32 & i2 i2 & raiz32 raiz32 & -i2 , que é a matriz obtida trocando as linhas e colunas e substituindo cada elemento por sua conjugada complexa. A conjugada de um número complexo A^dag>=r A = (-i2)(i2) + (raiz32)(raiz32) & (-i2)(raiz32) + (raiz32)(-i2) (raiz32)(i2) + (i2)(raiz32) & (raiz32)(raiz32) + (i2)(-i2) é A^dag>=r A = -i^24 + 34 & -iraiz34 - iraiz34 iraiz34 + iraiz34 & 34 + -i^24 .
Devido ao tamanho da matriz, a multiplicação será um pouco mais trabalhosa. Vamos calcular elemento por elemento.
Por exemplo, o elemento (1,1):
Outros elementos, como (1,2), (1,3), etc., não resultarão em zero após a multiplicação. Por exemplo, o elemento (1,2):
Passo 4.3: Como nem todos os elementos fora da diagonal são zero e os elementos da diagonal são 1, a matriz não é a identidade. Portanto, a matriz não é unitária.
Resposta
A única matriz unitária entre as apresentadas é a matriz B.