Determine quais as seguintes matrizes são unitárias.
(i) A=(lli / 2 & raiz3 / 2 raiz3 / 2 & -i / 2)
(ii) B=12(ll1+i & 1-i 1-i & 1+i)
(iii) C=12(ccc1 & -i & -1+i i & 1 & 1+i 1+i & -1+i & 0)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar quais das matrizes A, B e C são unitárias. Matriz unitária é aquela que, quando multiplicada pela sua conjugada transposta, resulta na matriz identidade. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é a conjugada transposta e como multiplicar matrizes. Vamos verificar cada matriz uma por uma.

Passo 2

Matriz A
Primeiro, vamos analisar a matriz A = i2 & raiz32 raiz32 & -i2 :
A^dag>=r = -i2 & raiz32 raiz32 & i2
Passo 2.1: Encontrar a conjugada transposta de A^dag>=r A = -i2 & raiz32 raiz32 & i2 i2 & raiz32 raiz32 & -i2 , que é a matriz obtida trocando as linhas e colunas e substituindo cada elemento por sua conjugada complexa. A conjugada de um número complexo A^dag>=r A = (-i2)(i2) + (raiz32)(raiz32) & (-i2)(raiz32) + (raiz32)(-i2) (raiz32)(i2) + (i2)(raiz32) & (raiz32)(raiz32) + (i2)(-i2) é A^dag>=r A = -i^24 + 34 & -iraiz34 - iraiz34 iraiz34 + iraiz34 & 34 + -i^24 .
Então, a conjugada transposta A^dag>=r A = 14 + 34 & -2iraiz34 2iraiz34 & 34 + 14 = 1 & -iraiz32 iraiz32 & 1 é:
I = 1 & 0 0 & 1
Passo 2.2: Agora, multiplicamos por :
Calculando a multiplicação:
Simplificando os termos:
Como , substituímos:
Passo 2.3: Comparando com a matriz identidade :
Vemos que não é igual a porque os elementos fora da diagonal não são zero. Portanto, a matriz não é unitária.

Passo 3

Matriz B
Vamos agora analisar a matriz B = 12 1+i & 1-i 1-i & 1+i :
B^dag>=r = 12 1-i & 1+i 1+i & 1-i
Passo 3.1: Encontrar a conjugada transposta de B^dag>=r B = 12 1-i & 1+i 1+i & 1-i 12 1+i & 1-i 1-i & 1+i = 14 (1-i)(1+i) + (1+i)(1-i) & (1-i)(1-i) + (1+i)(1+i) (1+i)(1+i) + (1-i)(1-i) & (1+i)(1-i) + (1-i)(1+i) , B^dag>=r B = 14 (1 - i^2) + (1 - i^2) & (1 - 2i + i^2) + (1 + 2i + i^2) (1 + 2i + i^2) + (1 - 2i + i^2) & (1 - i^2) + (1 - i^2) :
B^dag>=r B = 14 (1 + 1) + (1 + 1) & (1 - 2i -1) + (1 + 2i -1) (1 + 2i -1) + (1 - 2i -1) & (1 +1) + (1 +1) = 14 4 & 0 0 & 4 = 1 & 0 0 & 1
Passo 3.2: Multiplicar por :
Simplificando os termos:
Como :
Passo 3.3: Comparando com a matriz identidade , vemos que são iguais. Portanto, a matriz é unitária.

Passo 4

Matriz C
Agora, vamos verificar a matriz C = 12 1 & -i & -1+i i & 1 & 1+i 1+i & -1+i & 0 :
C^dag>=r = 12 1 & -i & 1-i i & 1 & -1-i -1-i & 1-i & 0
Passo 4.1: Encontrar a conjugada transposta de (12)^2 [1 cdot 1 + (-i) cdot i + (1-i)(1+i)] = 14 [1 + 1 + (1 - i^2)] = 14 [1 + 1 + (1 +1)] = 14 cdot 4 = 1 , 14 [1 cdot (-i) + (-i) cdot 1 + (1-i)(-1-i)] = 14 [-i - i + (-1 -i + i + i^2)] = 14 [-2i -1 -1] = 14 (-2 -2i) neq 0 :
Passo 4.2: Multiplicar por :
Devido ao tamanho da matriz, a multiplicação será um pouco mais trabalhosa. Vamos calcular elemento por elemento.
Por exemplo, o elemento (1,1):
Outros elementos, como (1,2), (1,3), etc., não resultarão em zero após a multiplicação. Por exemplo, o elemento (1,2):
Passo 4.3: Como nem todos os elementos fora da diagonal são zero e os elementos da diagonal são 1, a matriz não é a identidade. Portanto, a matriz não é unitária.

Resposta

A única matriz unitária entre as apresentadas é a matriz B.

Exercícios relacionados