Determine quais as seguintes matrizes são unitárias.
(i)
(ii)
(iii)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para determinar quais das matrizes A, B e C são unitárias. Matriz unitária é aquela que, quando multiplicada pela sua conjugada transposta, resulta na matriz identidade. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o que é a conjugada transposta e como multiplicar matrizes. Vamos verificar cada matriz uma por uma.
Passo 2
Matriz A
Primeiro, vamos analisar a matriz :
Passo 2.1: Encontrar a conjugada transposta de , que é a matriz obtida trocando as linhas e colunas e substituindo cada elemento por sua conjugada complexa. A conjugada de um número complexo é .
Então, a conjugada transposta é:
Passo 2.2: Agora, multiplicamos por :
Calculando a multiplicação:
Simplificando os termos:
Como , substituímos:
Passo 2.3: Comparando com a matriz identidade :
Vemos que não é igual a porque os elementos fora da diagonal não são zero. Portanto, a matriz não é unitária.
Passo 3
Matriz B
Vamos agora analisar a matriz :
Passo 3.1: Encontrar a conjugada transposta de , :
Passo 3.2: Multiplicar por :
Simplificando os termos:
Como :
Passo 3.3: Comparando com a matriz identidade , vemos que são iguais. Portanto, a matriz é unitária.
Passo 4
Matriz C
Agora, vamos verificar a matriz :
Passo 4.1: Encontrar a conjugada transposta de , :
Passo 4.2: Multiplicar por :
Devido ao tamanho da matriz, a multiplicação será um pouco mais trabalhosa. Vamos calcular elemento por elemento.
Por exemplo, o elemento (1,1):
Outros elementos, como (1,2), (1,3), etc., não resultarão em zero após a multiplicação. Por exemplo, o elemento (1,2):
Passo 4.3: Como nem todos os elementos fora da diagonal são zero e os elementos da diagonal são 1, a matriz não é a identidade. Portanto, a matriz não é unitária.
Resposta
A única matriz unitária entre as apresentadas é a matriz B.