Demonstre o Teorema:
lim x a[f(x)+g(x)]=L+M

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar um teorema sobre limites de funções. Especificamente, queremos mostrar que o limite da soma de duas funções, limx a [f(x) + g(x)] = L + M e , quando se aproxima de , é igual à soma dos limites individuais dessas funções. Em termos matemáticos:
Onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender as definições básicas de limites e como elas se aplicam à soma de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que:
limx a f(x) = L
Se, à medida que se aproxima de , os valores de se aproximam de . Isso significa que podemos tornar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para as duas funções limx a f(x) = L e limx a g(x) = M e |f(x) - L| < epsilon2 e |g(x) - M| < epsilon2 . Sabemos que:
Isso implica que, para qualquer pequeno número , podemos encontrar um intervalo ao redor de (exceto possivelmente no próprio ponto ) onde:

Passo 4

Queremos demonstrar que:
limx a [f(x) + g(x)] = L + M
Vamos considerar a expressão |f(x) + g(x) - L - M| = |(f(x) - L) + (g(x) - M)| . Podemos reescrever isso como:
|(f(x) - L) + (g(x) - M)| <= |f(x) - L| + |g(x) - M|
Pela desigualdade triangular, sabemos que:
|f(x) + g(x) - (L + M)| < epsilon2 + epsilon2 = epsilon
Substituindo as desigualdades que temos:
Isso mostra que para todo , podemos fazer escolhendo suficientemente próximo de .

Resposta

Assim, demonstramos que:
limx a [f(x) + g(x)] = L + M

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