Demonstre o Teorema:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar um teorema sobre limites de funções. Especificamente, queremos mostrar que o limite da soma de duas funções,
e
, quando
se aproxima de
, é igual à soma dos limites individuais dessas funções. Em termos matemáticos:
Onde
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições básicas de limites e como elas se aplicam à soma de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que:
Se, à medida que
se aproxima de
, os valores de
se aproximam de
. Isso significa que podemos tornar
tão próximo de
quanto quisermos, escolhendo
suficientemente próximo de
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa definição para as duas funções
e
. Sabemos que:
Isso implica que, para qualquer pequeno número
, podemos encontrar um intervalo ao redor de
(exceto possivelmente no próprio ponto
) onde:
Passo 4
Queremos demonstrar que:
Vamos considerar a expressão
. Podemos reescrever isso como:
Pela desigualdade triangular, sabemos que:
Substituindo as desigualdades que temos:
Isso mostra que para todo
, podemos fazer
escolhendo
suficientemente próximo de
.
Resposta
Assim, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
s)
s)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
i)
i)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
f)
f)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
k)
k)