Demonstre o Teorema:

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos demonstrar um teorema sobre limites de funções. Especificamente, queremos mostrar que o limite da soma de duas funções, e , quando se aproxima de , é igual à soma dos limites individuais dessas funções. Em termos matemáticos:
Onde e . Para resolver isso, vamos precisar entender as definições básicas de limites e como elas se aplicam à soma de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o limite de uma função. Dizemos que:
Se, à medida que se aproxima de , os valores de se aproximam de . Isso significa que podemos tornar tão próximo de quanto quisermos, escolhendo suficientemente próximo de .

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição para as duas funções e . Sabemos que:
Isso implica que, para qualquer pequeno número , podemos encontrar um intervalo ao redor de (exceto possivelmente no próprio ponto ) onde:

Passo 4

Queremos demonstrar que:
Vamos considerar a expressão . Podemos reescrever isso como:
Pela desigualdade triangular, sabemos que:
Substituindo as desigualdades que temos:
Isso mostra que para todo , podemos fazer escolhendo suficientemente próximo de .

Resposta

Assim, demonstramos que:

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Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
s)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
i)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
f)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
k)