Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, estamos lidando com limites e possivelmente com uma indeterminação. Para resolver, vamos precisar substituir o valor de no numerador e no denominador e, se der uma indeterminação, vamos precisar fatorar as expressões pra simplificar.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na fração para ver o que acontece.
Numerador:
Denominador:
Então, ao substituir, temos , que é uma indeterminação. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação , uma estratégia comum é fatorar o numerador e o denominador para encontrar fatores comuns que possam ser cancelados.
Numerador:
Vamos fatorar:
Denominador:
Vamos fatorar buscando raízes possíveis. Testando :
Então, é um fator. Fazendo a divisão:

Passo 4

Agora que fatoramos o numerador e o denominador, a expressão fica:
Observamos que temos o fator no denominador, que causou a indeterminação. No numerador, o fator correspondente seria , mas como não está presente, percebemos que podemos simplificar diretamente sem cancelamentos.
No entanto, percebemos que não há fatores comuns para cancelar. Nesse caso, precisamos reconsiderar nossa fatoração.
Reavaliando, vamos tentar fatorar de outra forma ou usar outro método, como a Regra de L’Hôpital, já que não conseguimos simplificar pela fatoração.

Passo 5

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite novamente.
Derivada do Numerador:
Derivada do Denominador:
Agora, o limite fica:

Passo 6

Vamos substituir na nova expressão:
Numerador:
Denominador:
Então, o limite é:

Resposta

O limite é igual a .

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Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
a)
Calcule os limites abaixo:
c)
Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
s)
Demonstre o Teorema: