Resolva os limites abaixo e, caso necessário, resolva a indeterminação:
k) lim x -1 2 x^2+3 x+1x^2-2 x-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . A matéria aqui é Cálculo de Limites, e vamos precisar usar fatoração de polinômios para resolver esse problema. Primeiro, vamos entender o que a gente precisa fazer para encontrar esse limite.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 2(-1)^2 + 3(-1) + 1(-1)^2 - 2(-1) - 3 = 2(1) - 3 + 11 + 2 - 3 = 2 - 3 + 10 = 00 na fração para ver se conseguimos calcular o limite diretamente:
A gente acabou com uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para resolver o limite.

Passo 3

Quando encontramos uma indeterminação do tipo 2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1) , uma técnica comum é fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Vamos começar fatorando o numerador :
Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Então, o numerador pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1) :
Procuramos dois números que multiplicados dão e que somados dão . Esses números são e .
Então, o denominador pode ser escrito como:

Passo 5

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
2x^2 + 3x + 1x^2 - 2x - 3 = (2x + 1)(x + 1)(x - 3)(x + 1)
Perceba que o termo aparece tanto no numerador quanto no denominador. Podemos cancelar esse termo porque estamos analisando o limite e está se aproximando de , mas nunca é exatamente .

Passo 6

Após cancelar 2x + 1x - 3 , ficamos com:
2(-1) + 1-1 - 3 = -2 + 1-4 = -1-4 = 14
Agora, é seguro substituir nessa expressão:

Resposta

O limite é .

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