Demonstre o Teorema das Três Perpendiculares:Sejam A, B e C pontos não colineares. Se as retas A B e A C são ortogonais à reta r, então B C também é ortogonal a r.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar o Teorema das Três Perpendiculares. Basicamente, temos três pontos não alinhados: , e . Sabemos que as retas e são perpendiculares a uma reta . Precisamos provar que a reta também é perpendicular a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas retas serem perpendiculares e usar um pouquinho de geometria analítica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta perpendicular. Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas for de 90 graus. Na geometria analítica, isso significa que o produto dos coeficientes angulares (ou inclinações) das duas retas é igual a .

Passo 3

Vamos atribuir coordenadas aos pontos para facilitar a análise. Podemos posicionar a reta de forma que seja a reta vertical . Isso simplifica porque qualquer reta perpendicular a será horizontal, ou seja, terá inclinação .

Passo 4

Com a reta sendo , as retas e são horizontais, já que são perpendiculares a . Isso significa que os pontos , e têm todas a mesma coordenada .

Passo 5

Vamos definir as coordenadas:
  • Seja
  • Seja
  • Seja
Aqui, como todas estão ligadas a perpendicularmente, elas compartilham o mesmo .

Passo 6

Agora, vamos olhar para a reta mBC = y2 - y1x2 - x1 = y - yx2 - x1 = 0 . As coordenadas de e são e respectivamente. A inclinação da reta é dada por:

Passo 7

Uma inclinação de significa que a reta é horizontal. Como definimos que a reta é vertical, então é perpendicular a .

Resposta

Portanto, provamos que se as retas e são perpendiculares à reta , então a reta também é perpendicular a , conforme o Teorema das Três Perpendiculares.

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