Demonstre o Teorema das Três Perpendiculares:Sejam
e
pontos não colineares. Se as retas
e
são ortogonais à reta r, então
também é ortogonal a r.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente demonstrar o Teorema das Três Perpendiculares. Basicamente, temos três pontos não alinhados:
,
e
. Sabemos que as retas
e
são perpendiculares a uma reta
. Precisamos provar que a reta
também é perpendicular a
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa duas retas serem perpendiculares e usar um pouquinho de geometria analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta perpendicular. Duas retas são perpendiculares se o ângulo entre elas for de 90 graus. Na geometria analítica, isso significa que o produto dos coeficientes angulares (ou inclinações) das duas retas é igual a
.
Passo 3
Vamos atribuir coordenadas aos pontos para facilitar a análise. Podemos posicionar a reta
de forma que seja a reta vertical
. Isso simplifica porque qualquer reta perpendicular a
será horizontal, ou seja, terá inclinação
.
Passo 4
Com a reta
sendo
, as retas
e
são horizontais, já que são perpendiculares a
. Isso significa que os pontos
,
e
têm todas a mesma coordenada
.
Passo 5
Vamos definir as coordenadas:
- Seja
- Seja
- Seja
Aqui, como todas estão ligadas a
perpendicularmente, elas compartilham o mesmo
.
Passo 6
Agora, vamos olhar para a reta
. As coordenadas de
e
são
e
respectivamente. A inclinação da reta
é dada por:
Passo 7
Uma inclinação de
significa que a reta
é horizontal. Como definimos que a reta
é vertical, então
é perpendicular a
.
Resposta
Portanto, provamos que se as retas
e
são perpendiculares à reta
, então a reta
também é perpendicular a
, conforme o Teorema das Três Perpendiculares.