Mostre que se dois planos paralelos interceptam um terceiro, então as interseções são paralelas.
Mostre que se dois planos paralelos interceptam um terceiro, então as interseções são paralelas.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que se temos dois planos paralelos que interceptam um terceiro plano, então as linhas de interseção geradas são também paralelas. Aqui, estamos trabalhando com geometria espacial, especificamente com propriedades de planos e linhas. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa planos paralelos e como eles se intersectam com outro plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um plano paralelo. Dois planos são paralelos se eles nunca se encontram, ou seja, se as suas normais são paralelas. A normal de um plano é um vetor que é perpendicular a ele. Então, se temos dois planos
e
com normais
e
respectivamente, eles são paralelos se
for paralelo a
.
Passo 3
Agora, vamos considerar que esses dois planos paralelos
e
interceptam um terceiro plano
. A interseção de um plano com outro é sempre uma linha reta. Então, a interseção de
com
é uma linha
, e a interseção de
com
é uma linha
.
Passo 4
Para mostrar que
e
são paralelas, vamos analisar as direções dessas linhas. A direção de uma linha de interseção de dois planos é dada pelo produto vetorial das normais dos planos envolvidos. Então, a direção de
é
e a direção de
é
, onde
é a normal do plano
.
Passo 5
Sabemos que
e
são paralelos, então
é paralelo a
. Isso significa que
para algum escalar
. Agora, vamos ver a direção de
:
Onde
é a direção de
.
Passo 6
A direção de
é um múltiplo escalar da direção de
, ou seja,
. Isso significa que as direções de
e
são paralelas, já que uma é um múltiplo da outra.
Resposta
Portanto, se dois planos são paralelos e interceptam um terceiro plano, as linhas de interseção resultantes são paralelas entre si.