Dois triângulos A B C e B C D são retângulos em B, não coplanares. Mostre que se o cateto A B é ortogonal à hipotenusa C D então o cateto B D é ortogonal à hipotenusa A C.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o enunciado está falando. Temos dois triângulos retângulos, ABC e BCD, que têm o mesmo vértice B onde formam ângulos retos. Além disso, esses triângulos não estão no mesmo plano (são não coplanares). O que precisamos provar é que, se o cateto AB é ortogonal à hipotenusa CD, então o cateto BD também será ortogonal à hipotenusa AC. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e produtos vetoriais que nos ajudam a verificar a ortogonalidade entre vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar onde estão esses pontos no espaço. Como os triângulos não são coplanares, podemos posicioná-los de forma mais simples:
  • Vamos colocar o ponto B na origem das coordenadas, ou seja, (0, 0, 0).
  • O ponto A ficará ao longo do eixo x, então suas coordenadas são (a, 0, 0).
  • O ponto C ficará ao longo do eixo y, com coordenadas (0, c, 0).
  • O ponto D ficará ao longo do eixo z, com coordenadas (0, 0, d).

Passo 3

Agora, vamos definir os vetores que correspondem aos lados dos triângulos:
  • Vetor AB = A - B = (a, 0, 0).
  • Vetor BC = C - B = (0, c, 0).
  • Vetor BD = D - B = (0, 0, d).
As hipotenusas dos triângulos são AC e CD:
  • Vetor AC = C - A = (-a, c, 0).
  • Vetor CD = D - C = (0, -c, d).

Passo 4

A condição dada no enunciado é que o cateto AB é ortogonal à hipotenusa CD. Isso significa que o produto escalar entre esses dois vetores deve ser zero:
AB cdot CD = 0
Vamos calcular:
AB cdot CD = (a, 0, 0) cdot (0, -c, d) = a times 0 + 0 times (-c) + 0 times d = 0
Como o resultado é zero, a condição é satisfeita.

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que o cateto BD é ortogonal à hipotenusa AC. Ou seja, o produto escalar entre BD e AC também deve ser zero:
BD cdot AC = 0
Vamos calcular:
BD = (0, 0, d) AC = (-a, c, 0) BD cdot AC = 0 times (-a) + 0 times c + d times 0 = 0
O resultado novamente é zero, o que confirma que BD é ortogonal a AC.

Resposta

Portanto, mostramos que se o cateto AB é ortogonal à hipotenusa CD, então o cateto BD é ortogonal à hipotenusa AC.

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