Dois triângulos
e
são retângulos em
, não coplanares. Mostre que se o cateto
é ortogonal à hipotenusa
então o cateto
é ortogonal à hipotenusa
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o enunciado está falando. Temos dois triângulos retângulos,
e
, que têm o mesmo vértice
onde formam ângulos retos. Além disso, esses triângulos não estão no mesmo plano (são não coplanares). O que precisamos provar é que, se o cateto
é ortogonal à hipotenusa
, então o cateto
também será ortogonal à hipotenusa
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e produtos vetoriais que nos ajudam a verificar a ortogonalidade entre vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar onde estão esses pontos no espaço. Como os triângulos não são coplanares, podemos posicioná-los de forma mais simples:
- Vamos colocar o ponto
na origem das coordenadas, ou seja, . - O ponto
ficará ao longo do eixo , então suas coordenadas são . - O ponto
ficará ao longo do eixo , com coordenadas . - O ponto
ficará ao longo do eixo , com coordenadas .
Passo 3
Agora, vamos definir os vetores que correspondem aos lados dos triângulos:
- Vetor
. - Vetor
. - Vetor
.
As hipotenusas dos triângulos são
e
:
- Vetor
. - Vetor
.
Passo 4
A condição dada no enunciado é que o cateto
é ortogonal à hipotenusa
. Isso significa que o produto escalar entre esses dois vetores deve ser zero:
Vamos calcular:
Como o resultado é zero, a condição é satisfeita.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que o cateto
é ortogonal à hipotenusa
. Ou seja, o produto escalar entre
e
também deve ser zero:
Vamos calcular:
O resultado novamente é zero, o que confirma que
é ortogonal a
.
Resposta
Portanto, mostramos que se o cateto
é ortogonal à hipotenusa
, então o cateto
é ortogonal à hipotenusa
.