Por um ponto qualquer da aresta A B de um tetraedro qualquer A B C D é traçado um plano paralelo às arestas A C e B D. Mostre que a seção determinada por este plano no tetraedro é um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria envolvendo tetraedros. A gente tem um tetraedro e precisa mostrar que, se traçarmos um plano paralelo às arestas e passando por um ponto qualquer na aresta , a seção formada será um paralelogramo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial como a definição de paralelismo e propriedades de paralelogramos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as arestas envolvidas. Temos a aresta onde vamos escolher um ponto qualquer, digamos . O que o enunciado pede é que a gente traçe um plano paralelo às arestas e . Isso significa que esse plano vai ter a mesma direção dessas arestas.

Passo 3

Agora, vamos entender o que significa um plano ser paralelo a duas arestas. Se o plano é paralelo a e , então este plano vai interceptar as faces do tetraedro de forma que as linhas de interseção tenham a mesma direção de e . Então, no nosso caso, o plano vai cortar as arestas e também de maneira paralela a e .

Passo 4

Vamos chamar os pontos de interseção do plano com as arestas e de e , respectivamente. Agora, temos dois segmentos no plano: e , que são paralelos a e respectivamente, já que o plano é paralelo a essas arestas.

Passo 5

Sabemos que se dois pares de lados opostos de um quadrilátero são paralelos, então esse quadrilátero é um paralelogramo. No nosso caso, é paralelo a e é paralelo a . Além disso, como é uma aresta do tetraedro e é outra aresta, e também são paralelos entre si devido ao alinhamento paralelo do plano.

Passo 6

Portanto, o quadrilátero formado pelos segmentos (onde é o ponto de interseção na outra aresta cortada pelo plano) tem os lados opostos paralelo a e paralelo a . Isso satisfaz a condição de um paralelogramo.

Resposta

A seção determinada pelo plano é um paralelogramo.

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