Por um ponto qualquer da aresta
de um tetraedro qualquer
é traçado um plano paralelo às arestas
e
. Mostre que a seção determinada por este plano no tetraedro é um paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria envolvendo tetraedros. A gente tem um tetraedro
e precisa mostrar que, se traçarmos um plano paralelo às arestas
e
passando por um ponto qualquer na aresta
, a seção formada será um paralelogramo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial como a definição de paralelismo e propriedades de paralelogramos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as arestas envolvidas. Temos a aresta
onde vamos escolher um ponto qualquer, digamos
. O que o enunciado pede é que a gente traçe um plano paralelo às arestas
e
. Isso significa que esse plano vai ter a mesma direção dessas arestas.
Passo 3
Agora, vamos entender o que significa um plano ser paralelo a duas arestas. Se o plano é paralelo a
e
, então este plano vai interceptar as faces do tetraedro de forma que as linhas de interseção tenham a mesma direção de
e
. Então, no nosso caso, o plano vai cortar as arestas
e
também de maneira paralela a
e
.
Passo 4
Vamos chamar os pontos de interseção do plano com as arestas
e
de
e
, respectivamente. Agora, temos dois segmentos no plano:
e
, que são paralelos a
e
respectivamente, já que o plano é paralelo a essas arestas.
Passo 5
Sabemos que se dois pares de lados opostos de um quadrilátero são paralelos, então esse quadrilátero é um paralelogramo. No nosso caso,
é paralelo a
e
é paralelo a
. Além disso, como
é uma aresta do tetraedro e
é outra aresta,
e
também são paralelos entre si devido ao alinhamento paralelo do plano.
Passo 6
Portanto, o quadrilátero formado pelos segmentos
(onde
é o ponto de interseção na outra aresta cortada pelo plano) tem os lados opostos
paralelo a
e
paralelo a
. Isso satisfaz a condição de um paralelogramo.
Resposta
A seção determinada pelo plano é um paralelogramo.