Mostre que se um plano
contém uma reta perpendicular a um plano
, então o plano
contém uma reta perpendicular ao plano
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem dois planos, chamados de
e
. A afirmação diz que se o plano
tem uma reta que é perpendicular ao plano
, então o plano
também tem uma reta perpendicular ao plano
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser perpendicular a um plano e como as retas estão relacionadas a eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta perpendicular a um plano. Imagina que você tem um plano, tipo uma folha de papel, e uma reta que sobe verticalmente dessa folha. Essa reta forma um ângulo de 90 graus com qualquer coisa que esteja na folha. Isso significa que a reta é perpendicular ao plano.
Passo 3
Agora, já que o plano
tem uma reta perpendicular ao plano
, vamos chamar essa reta de
. Então,
é perpendicular a
, ou seja, forma um ângulo de 90 graus com qualquer coisa que está no plano
.
Passo 4
Sabendo disso, podemos pensar nos vetores normais dos planos. Um vetor normal é um vetor que é perpendicular a um plano. Vamos chamar os vetores normais de
e
de
e
, respectivamente.
Passo 5
Como a reta
é perpendicular a
, ela está na direção do vetor normal
. Ou seja,
é paralelo a
. Isso nos dá uma relação entre os vetores normais dos dois planos.
Passo 6
Agora, queremos mostrar que o plano
tem uma reta perpendicular ao plano
. Para isso, precisamos encontrar uma reta no plano
que seja perpendicular ao vetor normal
.
Passo 7
Como
e
estão relacionados pela reta
, podemos concluir que existe uma direção no plano
que é perpendicular a
. Essa direção será a reta que procuramos.
Passo 8
Portanto, o plano
contém uma reta que é perpendicular ao plano
, seguindo a relação entre os vetores normais e as retas perpendiculares.
Resposta
Assim, mostramos que se o plano
contém uma reta perpendicular ao plano
, então o plano
também contém uma reta perpendicular ao plano
.