Mostre que se um plano alpha contém uma reta perpendicular a um plano beta, então o plano beta contém uma reta perpendicular ao plano alpha.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem dois planos, chamados de alpha e beta. A afirmação diz que se o plano alpha tem uma reta que é perpendicular ao plano beta, então o plano beta também tem uma reta perpendicular ao plano alpha. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa ser perpendicular a um plano e como as retas estão relacionadas a eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma reta perpendicular a um plano. Imagina que você tem um plano, tipo uma folha de papel, e uma reta que sobe verticalmente dessa folha. Essa reta forma um ângulo de 90 graus com qualquer coisa que esteja na folha. Isso significa que a reta é perpendicular ao plano.

Passo 3

Agora, já que o plano alpha tem uma reta perpendicular ao plano beta, vamos chamar essa reta de r. Então, r é perpendicular a beta, ou seja, forma um ângulo de 90 graus com qualquer coisa que está no plano beta.

Passo 4

Sabendo disso, podemos pensar nos vetores normais dos planos. Um vetor normal é um vetor que é perpendicular a um plano. Vamos chamar os vetores normais de alpha e beta de nalpha e nbeta, respectivamente.

Passo 5

Como a reta r é perpendicular a beta, ela está na direção do vetor normal nbeta. Ou seja, r é paralelo a nbeta. Isso nos dá uma relação entre os vetores normais dos dois planos.

Passo 6

Agora, queremos mostrar que o plano beta tem uma reta perpendicular ao plano alpha. Para isso, precisamos encontrar uma reta no plano beta que seja perpendicular ao vetor normal nalpha.

Passo 7

Como nalpha e nbeta estão relacionados pela reta r, podemos concluir que existe uma direção no plano beta que é perpendicular a nalpha. Essa direção será a reta que procuramos.

Passo 8

Portanto, o plano beta contém uma reta que é perpendicular ao plano alpha, seguindo a relação entre os vetores normais e as retas perpendiculares.

Resposta

Assim, mostramos que se o plano alpha contém uma reta perpendicular ao plano beta, então o plano beta também contém uma reta perpendicular ao plano alpha.

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