Encontre o limite se existir: lim t pi / 4(sin t i+2 cos t j)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o limite da expressão vetorial quando se aproxima de . Isso envolve entender os limites de funções trigonométricas como seno e cosseno. Então, vamos precisar lembrar como calcular limites e aplicar isso a cada componente do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a expressão vetorial nas suas partes componentes. Isso significa que vamos encontrar o limite de cada parte individualmente. Ou seja, vamos calcular:
limt pi/4 sin t e limt pi/4 2 cos t

Passo 3

Agora, vamos calcular cada limite separadamente.
  1. Limite de sin(pi4) = raiz22 quando 2 cos(pi4) = 2 cdot raiz22 = raiz2 se aproxima de :
    Sabemos que a função seno é contínua, então podemos simplesmente substituir por :
  2. Limite de quando se aproxima de :
    A função cosseno também é contínua, então substituímos por :

Resposta

Portanto, o limite da expressão vetorial é:
limt pi/4 ( sin t cdot i + 2 cos t cdot j ) = raiz22 cdot i + raiz2 cdot j

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