A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a região do plano onde é possível garantir que esta equação possui soluçōes únicas.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial que descreve como uma variável muda em relação ao tempo . Especificamente, a equação é:
Aqui, , e são constantes reais positivas, e é a função que queremos entender. O objetivo é determinar a região no plano onde podemos garantir que essa equação tem soluções únicas.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria de equações diferenciais, principalmente o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos ajuda a saber onde uma solução única existe para uma dada equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Picard-Lindelöf diz. Ele afirma que, para uma equação diferencial da forma:
Para garantir que exista uma solução única passando por um ponto inicial , a função precisa ser continua em uma região ao redor desse ponto e também precisa satisfazer uma condição de Lipschitz em relação a nessa região.
Resumindo, precisamos que:
  1. seja contínua em um retângulo que envolve o ponto .
  2. satisfaça a condição de Lipschitz em nesse retângulo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa equação:
Primeiro, analisamos onde é contínua. Para que a função seja contínua, o denominador não pode ser zero, e deve ser positivo (pois estamos lidando com raízes de ).
Então, condições para a continuidade:

Passo 4

Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a . Uma função satisfaz a condição de Lipschitz em se existe uma constante tal que:
Para nossa função:
Vamos calcular a derivada de em relação a :
Essa derivada existe e é contínua quando e , garantindo que é Lipschitz contínua em nessas condições.

Passo 5

Juntando todas as condições, a região no plano onde podemos garantir a existência e unicidade das soluções é onde:
  • (para que seja definido e seja contínua)
  • (para evitar que o denominador seja zero)
  • E, claro, comporta as constantes

Resposta

A equação diferencial possui soluções únicas na região do plano onde e . Portanto, a região é definida por:

Exercícios relacionados

Encontre o limite se existir:
Prove que se e , então .
Demonstre que para todo inteiro positivo vale:
a) .