A seguinte equação diferencial aparece em trabalhos que estudam a acumulação de nebulosa no sistema solar:
(a) Determine a região do plano
onde é possível garantir que esta equação possui soluçōes únicas.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. A gente tem uma equação diferencial que descreve como uma variável
muda em relação ao tempo
. Especificamente, a equação é:
Aqui,
,
e
são constantes reais positivas, e
é a função que queremos entender. O objetivo é determinar a região no plano
onde podemos garantir que essa equação tem soluções únicas.
Para resolver isso, vamos usar um pouco de teoria de equações diferenciais, principalmente o Teorema de Existência e Unicidade de Picard-Lindelöf. Esse teorema nos ajuda a saber onde uma solução única existe para uma dada equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema de Picard-Lindelöf diz. Ele afirma que, para uma equação diferencial da forma:
Para garantir que exista uma solução única passando por um ponto inicial
, a função
precisa ser continua em uma região ao redor desse ponto e também precisa satisfazer uma condição de Lipschitz em relação a
nessa região.
Resumindo, precisamos que:
-
seja contínua em um retângulo que envolve o ponto . -
satisfaça a condição de Lipschitz em nesse retângulo.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa equação:
Primeiro, analisamos onde
é contínua. Para que a função seja contínua, o denominador
não pode ser zero, e
deve ser positivo (pois estamos lidando com raízes de
).
Então, condições para a continuidade:
-
⇒ -
Passo 4
Agora, vamos verificar a condição de Lipschitz em relação a
. Uma função
satisfaz a condição de Lipschitz em
se existe uma constante
tal que:
Para nossa função:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Essa derivada existe e é contínua quando
e
, garantindo que
é Lipschitz contínua em
nessas condições.
Passo 5
Juntando todas as condições, a região no plano
onde podemos garantir a existência e unicidade das soluções é onde:
-
(para que seja definido e seja contínua) -
(para evitar que o denominador seja zero) - E, claro, comporta as constantes
Resposta
A equação diferencial possui soluções únicas na região do plano
onde
e
. Portanto, a região é definida por:
Exercícios relacionados
Encontre o limite se existir:
Prove que se
e
, então
.
Demonstre que para todo inteiro positivo
vale:
a) .
a)