Demonstre que, em um triângulo retângulo, a reta determinada pelo vértice do ângulo reto e o centro do quadrado construído sobre a hipotenusa, externamente ao triângulo, é a bissetriz do ângulo reto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, em um triângulo retângulo, a reta que liga o vértice do ângulo reto ao centro do quadrado construído sobre a hipotenusa (fora do triângulo) é a bissetriz desse ângulo. Vamos usar conhecimentos de geometria, como propriedades de triângulos retângulos e quadrados, além de conceitos de bissetriz.
Passo 2
Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo
, onde
é o vértice do ângulo reto. Construímos um quadrado sobre a hipotenusa
, digamos que esse quadrado seja
, com
e
sendo os outros vértices do quadrado. O centro desse quadrado, vamos chamar de
.
Passo 3
Queremos mostrar que a reta
é a bissetriz do ângulo reto em
. Para isso, precisamos provar que
divide o ângulo
em dois ângulos iguais.
Passo 4
Sabemos que em um quadrado, as diagonais se cortam em seus pontos médios e são perpendiculares. Portanto, as diagonais do quadrado
se encontram no centro
, e
.
Passo 5
Observando os triângulos
e
, percebemos que:
-
e são os catetos do triângulo retângulo . -
e são segmentos iguais, pois é o centro do quadrado. - O ângulo em
é dividido pela reta .
Passo 6
Aplicando o critério de congruência de triângulos (lado, lado, ângulo), temos que:
-
(sendo catetos do triângulo retângulo isósceles). -
(raios do quadrado). - O ângulo
é igual ao ângulo porque está dividindo o ângulo reto.
Passo 7
Como os triângulos
e
são congruentes, os ângulos
e
são iguais. Isso significa que
realmente bisseta o ângulo reto em
.
Resposta
Portanto, demonstramos que a reta que liga o vértice do ângulo reto ao centro do quadrado construído sobre a hipotenusa é, de fato, a bissetriz do ângulo reto no triângulo retângulo.