Demonstre que, em um triângulo retângulo, a reta determinada pelo vértice do ângulo reto e o centro do quadrado construído sobre a hipotenusa, externamente ao triângulo, é a bissetriz do ângulo reto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para provar que, em um triângulo retângulo, a reta que liga o vértice do ângulo reto ao centro do quadrado construído sobre a hipotenusa (fora do triângulo) é a bissetriz desse ângulo. Vamos usar conhecimentos de geometria, como propriedades de triângulos retângulos e quadrados, além de conceitos de bissetriz.

Passo 2

Primeiro, vamos desenhar um triângulo retângulo , onde é o vértice do ângulo reto. Construímos um quadrado sobre a hipotenusa , digamos que esse quadrado seja , com e sendo os outros vértices do quadrado. O centro desse quadrado, vamos chamar de .

Passo 3

Queremos mostrar que a reta é a bissetriz do ângulo reto em . Para isso, precisamos provar que divide o ângulo em dois ângulos iguais.

Passo 4

Sabemos que em um quadrado, as diagonais se cortam em seus pontos médios e são perpendiculares. Portanto, as diagonais do quadrado se encontram no centro , e .

Passo 5

Observando os triângulos e , percebemos que:
  • e são os catetos do triângulo retângulo .
  • e são segmentos iguais, pois é o centro do quadrado.
  • O ângulo em é dividido pela reta .

Passo 6

Aplicando o critério de congruência de triângulos (lado, lado, ângulo), temos que:
  • (sendo catetos do triângulo retângulo isósceles).
  • (raios do quadrado).
  • O ângulo é igual ao ângulo porque está dividindo o ângulo reto.

Passo 7

Como os triângulos e são congruentes, os ângulos e são iguais. Isso significa que realmente bisseta o ângulo reto em .

Resposta

Portanto, demonstramos que a reta que liga o vértice do ângulo reto ao centro do quadrado construído sobre a hipotenusa é, de fato, a bissetriz do ângulo reto no triângulo retângulo.

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