Sejam dois vetores não nulos u=(c, d) e v=(e, f). Provar que
u | v Leftrightarrow|cc c & d e & f |=c f-d e=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores não nulos, u = (c, d) e v = (e, f). A questão quer que a gente prove que esses vetores são paralelos se, e somente se, o determinante formado por seus componentes for zero, ou seja:
u | v Leftrightarrow c f - d e = 0
Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores paralelos e como calcular determinantes.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre vetores paralelos. Dois vetores são paralelos se eles apontam na mesma direção ou em direções opostas. Em termos matemáticos, isso significa que um vetor é um múltiplo escalar do outro. Por exemplo, u = k v, onde k é um número real.

Passo 3

Agora, vamos entender o que é o determinante de uma matriz 2x2. Para os vetores u = (c, d) e v = (e, f), podemos formar a seguinte matriz:
c & d e & f
O determinante dessa matriz é calculado como:
det = c f - d e

Passo 4

Vamos ver o que acontece se os vetores são paralelos. Se u é múltiplo de v, então c = k e e d = k f para algum k. Substituindo na fórmula do determinante:
c f - d e = (k e) f - (k f) e = k e f - k f e = 0
Então, se os vetores são paralelos, o determinante é zero.

Passo 5

Agora, vamos fazer a contrapartida: se o determinante é zero, isso implica que os vetores são paralelos. Se c f - d e = 0, podemos rearranjar para c f = d e. Se e neq 0, podemos dividir ambos os lados por e:
ce = df = k
Isso mostra que c = k e e d = k f, ou seja, u = k v, o que significa que os vetores são paralelos.

Resposta

Portanto, mostramos que u | v se e somente se c f - d e = 0.

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