Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores não nulos, e . A questão quer que a gente prove que esses vetores são paralelos se, e somente se, o determinante formado por seus componentes for zero, ou seja:
Para isso, vamos precisar entender o que significa vetores paralelos e como calcular determinantes.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre vetores paralelos. Dois vetores são paralelos se eles apontam na mesma direção ou em direções opostas. Em termos matemáticos, isso significa que um vetor é um múltiplo escalar do outro. Por exemplo, , onde é um número real.
Passo 3
Agora, vamos entender o que é o determinante de uma matriz 2x2. Para os vetores e , podemos formar a seguinte matriz:
O determinante dessa matriz é calculado como:
Passo 4
Vamos ver o que acontece se os vetores são paralelos. Se é múltiplo de , então e para algum . Substituindo na fórmula do determinante:
Então, se os vetores são paralelos, o determinante é zero.
Passo 5
Agora, vamos fazer a contrapartida: se o determinante é zero, isso implica que os vetores são paralelos. Se , podemos rearranjar para . Se , podemos dividir ambos os lados por :
Isso mostra que e , ou seja, , o que significa que os vetores são paralelos.