Usando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido
delimitado pelas seguintes condições:
-
,
-
,
-
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido
que está definido por algumas condições usando coordenadas cilíndricas. O que precisamos para isso é entender como converter essas condições para coordenadas cilíndricas e, em seguida, montar uma integral tripla para encontrar o volume. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a condição
. Em coordenadas cartesianas, isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar convertendo para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Como
, fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a inequação
. Podemos fatorar
:
Isso nos diz que
está entre 0 e
:
Passo 4
A próxima condição é
. Novamente, vamos converter para coordenadas cilíndricas:
Então, a variável
vai de 0 até
.
Passo 5
As últimas condições são
e
. Em coordenadas cilíndricas, isso significa que tanto
quanto
devem ser positivos. Isso ocorre quando
está no primeiro quadrante, ou seja:
Passo 6
Agora que temos todas as condições convertidas, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é
. Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral em
primeiro:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, a integral em
fica:
Vamos distribuir:
Passo 10
Vamos resolver essas duas integrais separadamente:
Para a primeira integral, usamos a fórmula de redução para potências de cosseno:
Avaliando de 0 a
:
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
. A integral se torna:
Avaliando de 0 a
:
Passo 11
Agora, somamos as duas integrais:
Multiplicando pelo fator
:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.