Usando coordenadas cilíndricas, calcule o volume do sólido B delimitado pelas seguintes condições:
  1. x^2 + y^2 - 2 x <= 0,
  2. 0 <= z <= x + y,
  3. x >= 0 e y ≥ 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que está definido por algumas condições usando coordenadas cilíndricas. O que precisamos para isso é entender como converter essas condições para coordenadas cilíndricas e, em seguida, montar uma integral tripla para encontrar o volume. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a condição . Em coordenadas cartesianas, isso pode parecer complicado, mas vamos simplificar convertendo para coordenadas cilíndricas. Lembrando que em coordenadas cilíndricas temos:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Como , fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação . Podemos fatorar :
Isso nos diz que está entre 0 e :

Passo 4

A próxima condição é . Novamente, vamos converter para coordenadas cilíndricas:
Então, a variável vai de 0 até .

Passo 5

As últimas condições são e . Em coordenadas cilíndricas, isso significa que tanto quanto devem ser positivos. Isso ocorre quando está no primeiro quadrante, ou seja:

Passo 6

Agora que temos todas as condições convertidas, vamos montar a integral tripla para calcular o volume. Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral em primeiro:
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar em :
Simplificando:

Passo 9

Agora, a integral em fica:
Vamos distribuir:

Passo 10

Vamos resolver essas duas integrais separadamente:
Para a primeira integral, usamos a fórmula de redução para potências de cosseno:
Avaliando de 0 a :
Para a segunda integral, fazemos uma substituição simples. Seja , então . A integral se torna:
Avaliando de 0 a :

Passo 11

Agora, somamos as duas integrais:
Multiplicando pelo fator :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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