Demonstre usando a definição: (em termo de ) sendo um número real positivo.
Passo 1
Então, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que o limite de quando tende ao infinito é igual a zero, usando a definição em termos de . Aqui, é um número real positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de limite no infinito e como aplicar o conceito de para provar que o limite realmente é zero.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição de limite no infinito. Dizemos que:
significa que para todo , existe um número tal que, se , então .
No nosso caso, queremos mostrar que para .
Passo 3
Então, aplicando a definição ao nosso caso:
Queremos que, para todo , exista um tal que se , então:
Simplificando, isso fica:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar um valor para 1x^p < epsilon implies x^p > 1epsilon implies x > ( 1epsilon )^1p que dependa de para que a desigualdade acima seja satisfeita. Vamos resolver a desigualdade para :
Passo 5
Portanto, podemos escolher:
M = ( 1epsilon )^1p
Assim, para qualquer , teremos , o que confirma a definição de limite.