Demonstre usando a definição: (em termo de epsilon )
O lim x +infty 1x^p=0 sendo p um número real positivo.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão nos pede para mostrar que o limite de quando tende ao infinito é igual a zero, usando a definição em termos de . Aqui, é um número real positivo. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de limite no infinito e como aplicar o conceito de para provar que o limite realmente é zero.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição de limite no infinito. Dizemos que:
limx to +infty f(x) = L
significa que para todo , existe um número tal que, se , então .
No nosso caso, queremos mostrar que para .

Passo 3

Então, aplicando a definição ao nosso caso:
Queremos que, para todo | 1x^p - 0 | < epsilon , exista um 1x^p < epsilon tal que se , então:
Simplificando, isso fica:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar um valor para 1x^p < epsilon implies x^p > 1epsilon implies x > ( 1epsilon )^1p que dependa de para que a desigualdade acima seja satisfeita. Vamos resolver a desigualdade para :

Passo 5

Portanto, podemos escolher:
M = ( 1epsilon )^1p
Assim, para qualquer , teremos , o que confirma a definição de limite.

Resposta

Concluímos que:
limx to +infty 1x^p = 0

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