Seja a função
Mostre que
é contínua.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
que muda de expressão dependendo de
. Quando
, a função é
, e quando
, ela é igual a 0. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função é contínua em todo o seu domínio.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. A ideia básica é verificar se, para qualquer ponto
, o limite da função quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto. Vamos dividir nossa análise em partes para facilitar.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para os pontos onde
. Nessa região, a função é
.
Sabemos que funções como √u, onde u é uma função polinomial (no caso,
), são contínuas sempre que o que está dentro da raiz está definido e é contínuo. Aqui,
é um polinômio, portanto, é contínuo em todo lugar. A raiz quadrada também é contínua onde seu argumento é maior ou igual a zero, que é exatamente o caso quando
.
Então,
é contínua em todos os pontos onde
.
Passo 3
Agora, vamos considerar os pontos onde
. Nessa região, a função é simplesmente
.
Funções constantes são sempre contínuas, porque não há “saltos” ou “descontinuidades” nelas. Então,
é contínua em todos os pontos onde
.
Passo 4
O último passo é verificar a continuidade na fronteira, ou seja, nos pontos onde
. Aqui, precisamos ter certeza de que o limite de
quando
se aproxima de um ponto na fronteira é igual tanto ao valor dentro da região
quanto ao valor na região
.
Para
:
- Pela definição de
, temos .
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de um ponto na fronteira:
Isso coincide com o valor de
na fronteira. Portanto, a função não tem “saltos” na fronteira e é contínua ali também.
Resposta
Assim, analisando todas as regiões e a fronteira, concluímos que
é contínua em todo o seu domínio.