Seja a função
z = f(x, y) = { raiz(1 - x^2 - y^2) se x^2 + y^2 <= 1, 0 se x^2 + y^2 > 1 }
Mostre que f é contínua.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de expressão dependendo de . Quando , a função é , e quando , ela é igual a 0. Nosso objetivo aqui é mostrar que essa função é contínua em todo o seu domínio.
Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções de várias variáveis. A ideia básica é verificar se, para qualquer ponto , o limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função nesse ponto. Vamos dividir nossa análise em partes para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para os pontos onde . Nessa região, a função é .
Sabemos que funções como √u, onde u é uma função polinomial (no caso, ), são contínuas sempre que o que está dentro da raiz está definido e é contínuo. Aqui, é um polinômio, portanto, é contínuo em todo lugar. A raiz quadrada também é contínua onde seu argumento é maior ou igual a zero, que é exatamente o caso quando .
Então, é contínua em todos os pontos onde .

Passo 3

Agora, vamos considerar os pontos onde . Nessa região, a função é simplesmente .
Funções constantes são sempre contínuas, porque não há “saltos” ou “descontinuidades” nelas. Então, é contínua em todos os pontos onde .

Passo 4

O último passo é verificar a continuidade na fronteira, ou seja, nos pontos onde . Aqui, precisamos ter certeza de que o limite de quando se aproxima de um ponto na fronteira é igual tanto ao valor dentro da região quanto ao valor na região .
Para :
  • Pela definição de , temos .
Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de um ponto na fronteira:
Isso coincide com o valor de na fronteira. Portanto, a função não tem “saltos” na fronteira e é contínua ali também.

Resposta

Assim, analisando todas as regiões e a fronteira, concluímos que é contínua em todo o seu domínio.

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