Seja
f(x)=lcc raiz-x & se & x<-1 -2 x^2+5 x+3 & se & -1 <= x<3 2 & se & x=3 x+12 & se & 3= 5
Determine o lim x x0^- f(x), lim x x0^+ f(x) e lim x x0 f(x) se existirem, para os valores x0=-1, x0=3 e x0=5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função que muda de definição dependendo do valor de . Nosso trabalho é encontrar os limites pela esquerda ( ), pela direita ( ) e o limite geral ( ) para os pontos , e . Para isso, vamos analisar cada caso usando as diferentes partes da função.

Passo 2

Vamos começar com limx to -1^- raiz-x = raiz-(-1) = raiz1 = 1 .
Para -2(-1)^2 + 5(-1) + 3 = -2(1) -5 + 3 = -2 -5 +3 = -4 :
  • Pela esquerda ( ): Aqui, estamos chegando de valores menores que -1, então usamos .
  • Pela direita ( ): Agora, estamos vindo de valores maiores que -1, então usamos .
    Substituindo :
  • Limite geral ( ): Para existir, os limites laterais devem ser iguais. Aqui, , então o limite geral não existe.

Passo 3

Agora, vamos para -2(3)^2 + 5(3) + 3 = -2(9) + 15 + 3 = -18 +15 +3 = 0 .
Para 3 +12 = 42 = 2 :
  • Pela esquerda ( ): Aqui, usamos .
    Substituindo :
  • Pela direita ( ): Agora, estamos vindo de valores maiores que 3, então usamos .
    Substituindo :
  • Limite geral ( ): Como , o limite geral não existe.

Passo 4

Por último, vamos para 5 +12 = 62 = 3 .
Para 2 + e^5-5 = 2 + e^0 = 2 +1 = 3 :
  • Pela esquerda ( ): Usamos .
    Substituindo :
  • Pela direita ( ): Aqui, usamos .
    Substituindo :
  • Limite geral ( ): Como os limites laterais são iguais ( ), o limite geral existe e é igual a 3.

Resposta

&Para x0 = -1: & limx to -1^- f(x) = 1 & limx to -1^+ f(x) = -4 & limx to -1 f(x) não existe &Para x0 = 3: & limx to 3^- f(x) = 0 & limx to 3^+ f(x) = 2 & limx to 3 f(x) não existe &Para x0 = 5: & limx to 5^- f(x) = 3 & limx to 5^+ f(x) = 3 & limx to 5 f(x) = 3 ãã

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