Dos exercícios 9 a 13 calcule o valor do limite no infinito (tanto
como
):
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite no infinito da função
. A gente vai precisar usar conceitos de limites, especialmente quando
vai para
e
. Vamos desmembrar a função e simplificar para encontrar o comportamento da função conforme
cresce muito positivo ou muito negativo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar no limite quando
vai para
. Observamos que os termos com maior grau de
nos numeradores e denominadores são os que dominam o comportamento da função. No numerador, o termo
é o que mais pesa, e no denominador, o termo
e o termo dentro da raiz
.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão da raiz no denominador. Isso é importante porque queremos entender como a raiz cresce com
. Podemos fatorar
dentro da raiz:
Como estamos considerando
tendendo para
,
. Então:
porque
se aproxima de 3 quando
cresce.
Passo 4
Agora, substituímos essa aproximação na expressão original da função:
Simplificando a fração:
Quando
vai para
,
tende a 0, então:
Passo 5
Agora, vamos analisar o limite quando
vai para
. Novamente, consideramos os termos de maior grau. A simplificação da raiz permanece similar:
porque para
negativo,
.
Assim, a função fica:
Simplificando:
Quando
vai para
,
tende a 0, então:
Resposta
O limite da função
é:
e