Dos exercícios 9 a 13 calcule o valor do limite no infinito (tanto -infinito como +infinito ):
f(x) = (1 - 3 x) / (4 x - raiz(9 x^2 - x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite no infinito da função . A gente vai precisar usar conceitos de limites, especialmente quando vai para e . Vamos desmembrar a função e simplificar para encontrar o comportamento da função conforme cresce muito positivo ou muito negativo.

Passo 2

Primeiro, vamos focar no limite quando vai para . Observamos que os termos com maior grau de nos numeradores e denominadores são os que dominam o comportamento da função. No numerador, o termo é o que mais pesa, e no denominador, o termo e o termo dentro da raiz .

Passo 3

Vamos simplificar a expressão da raiz no denominador. Isso é importante porque queremos entender como a raiz cresce com . Podemos fatorar dentro da raiz:
Como estamos considerando tendendo para , . Então:
porque se aproxima de 3 quando cresce.

Passo 4

Agora, substituímos essa aproximação na expressão original da função:
Simplificando a fração:
Quando vai para , tende a 0, então:

Passo 5

Agora, vamos analisar o limite quando vai para . Novamente, consideramos os termos de maior grau. A simplificação da raiz permanece similar:
porque para negativo, .
Assim, a função fica:
Simplificando:
Quando vai para , tende a 0, então:

Resposta

O limite da função é:
e

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