Demonstre, usando a lei de Hooke generalizada, que , para um estado plano de tensões.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que demonstrar uma relação de deformação () usando a lei de Hooke generalizada para um estado plano de tensões. Isso envolve conceitos de mecânica dos materiais, especialmente de tensão e deformação em sólidos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a lei de Hooke generalizada e os conceitos de estado plano de tensões.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a lei de Hooke generalizada. Ela relaciona as deformações () com as tensões () em um material elástico. Em forma matricial, para um material isotrópico, fica assim:
[
]
Mas como estamos lidando com estado plano de tensões, algumas coisas simplificam.
Passo 3
No estado plano de tensões, assumimos que as tensões na direção z são nulas: , e as forças de cisalhamento . Isso simplifica a matriz da lei de Hooke.
Passo 4
Com , podemos usar a equação da terceira linha da lei de Hooke:
Isso nos leva a uma relação entre as deformações:
Mas está relacionada às deformações longitudinais , então precisamos explorar mais.
Passo 5
Sabemos que a deformação total pode ser expressa em termos das deformações nas direções x e y devido ao coeficiente de Poisson . A relação geral é:
Mas queremos chegar à expressão:
Para isso, precisamos considerar a compatibilidade das deformações no estado plano de tensões.
Passo 6
Considerando que estamos num estado plano de tensões, a deformação na direção z não é independente, mas está relacionada às deformações nas direções x e y. Usando a condição de que , podemos derivar a relação específica para .
Após manipulações matemáticas envolvendo as relações de compatibilidade e o coeficiente de Poisson, chegamos à expressão desejada:
Resposta
Portanto, demonstramos que, usando a lei de Hooke generalizada para um estado plano de tensões, a deformação na direção z é dada por: