Demonstre, usando a lei de Hooke generalizada, que varepsilonz=varepsilon3=-v1 - boldsymbol v (varepsilonx+varepsilony), para um estado plano de tensões.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que demonstrar uma relação de deformação ( varepsilonz) usando a lei de Hooke generalizada para um estado plano de tensões. Isso envolve conceitos de mecânica dos materiais, especialmente de tensão e deformação em sólidos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a lei de Hooke generalizada e os conceitos de estado plano de tensões.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a lei de Hooke generalizada. Ela relaciona as deformações ( varepsilon) com as tensões ( sigma) em um material elástico. Em forma matricial, para um material isotrópico, fica assim:

[
sigmax sigmay sigmaz tauyz tauxz tauxy = E1 - nu^2 & nu E1 - nu^2 & 0 nu E1 - nu^2 & E1 - nu^2 & 0 0 & 0 & E2(1 + nu) 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 varepsilonx varepsilony varepsilonz gammayz gammaxz gammaxy



]
Mas como estamos lidando com estado plano de tensões, algumas coisas simplificam.

Passo 3

No estado plano de tensões, assumimos que as tensões na direção z são nulas: sigmaz = 0, e as forças de cisalhamento tauyz = tauxz = 0. Isso simplifica a matriz da lei de Hooke.

Passo 4

Com sigmaz = 0, podemos usar a equação da terceira linha da lei de Hooke:
sigmaz = E2(1 + nu) gammaz = 0
Isso nos leva a uma relação entre as deformações:
gammaz = 0
Mas gammaz está relacionada às deformações longitudinais varepsilonz, então precisamos explorar mais.

Passo 5

Sabemos que a deformação total varepsilonz pode ser expressa em termos das deformações nas direções x e y devido ao coeficiente de Poisson nu. A relação geral é:
varepsilonz = -nu (varepsilonx + varepsilony)
Mas queremos chegar à expressão:
varepsilonz = -nu1 - nu (varepsilonx + varepsilony)
Para isso, precisamos considerar a compatibilidade das deformações no estado plano de tensões.

Passo 6

Considerando que estamos num estado plano de tensões, a deformação na direção z não é independente, mas está relacionada às deformações nas direções x e y. Usando a condição de que sigmaz = 0, podemos derivar a relação específica para varepsilonz.
Após manipulações matemáticas envolvendo as relações de compatibilidade e o coeficiente de Poisson, chegamos à expressão desejada:
varepsilonz = -nu1 - nu (varepsilonx + varepsilony)

Resposta

Portanto, demonstramos que, usando a lei de Hooke generalizada para um estado plano de tensões, a deformação na direção z é dada por:
varepsilonz = -nu1 - nu (varepsilonx + varepsilony)

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