Demonstre, usando a lei de Hooke generalizada, que , para um estado plano de tensões.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que demonstrar uma relação de deformação ( ) usando a lei de Hooke generalizada para um estado plano de tensões. Isso envolve conceitos de mecânica dos materiais, especialmente de tensão e deformação em sólidos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a lei de Hooke generalizada e os conceitos de estado plano de tensões.

Passo 2

Vamos lembrar o que é a lei de Hooke generalizada. Ela relaciona as deformações ( ) com as tensões ( ) em um material elástico. Em forma matricial, para um material isotrópico, fica assim:

[



]
Mas como estamos lidando com estado plano de tensões, algumas coisas simplificam.

Passo 3

No estado plano de tensões, assumimos que as tensões na direção z são nulas: , e as forças de cisalhamento . Isso simplifica a matriz da lei de Hooke.

Passo 4

Com , podemos usar a equação da terceira linha da lei de Hooke:
Isso nos leva a uma relação entre as deformações:
Mas está relacionada às deformações longitudinais , então precisamos explorar mais.

Passo 5

Sabemos que a deformação total pode ser expressa em termos das deformações nas direções x e y devido ao coeficiente de Poisson . A relação geral é:
Mas queremos chegar à expressão:
Para isso, precisamos considerar a compatibilidade das deformações no estado plano de tensões.

Passo 6

Considerando que estamos num estado plano de tensões, a deformação na direção z não é independente, mas está relacionada às deformações nas direções x e y. Usando a condição de que , podemos derivar a relação específica para .
Após manipulações matemáticas envolvendo as relações de compatibilidade e o coeficiente de Poisson, chegamos à expressão desejada:

Resposta

Portanto, demonstramos que, usando a lei de Hooke generalizada para um estado plano de tensões, a deformação na direção z é dada por:

Exercícios relacionados

Extensômetros foram colocados em uma superfície de aço ( e v=0,29) e indicam uma deformação de , e .
Calcule e diretamente dos valores , e .
Determine estado de deformações que corresponde ao seguinte estado de tensão em um ponto de uma peça fabricada: . Considere que a peça seja feita de uma liga de alumínio, com e .
Extensômetros foram colocados em uma superfície de aço ( e v=0,29) e indicam uma deformação de , e .
Calcule as tensões principais diretamente de , e e compare com os valores encontrados em b).
Extensômetros foram colocados em uma superfície de aço ( e v=0,29) e indicam uma deformação de , e .
Calcule as deformações principais.