Demonstre, usando a lei de Hooke generalizada, que , para um estado plano de tensões.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que demonstrar uma relação de deformação () usando a lei de Hooke generalizada para um estado plano de tensões. Isso envolve conceitos de mecânica dos materiais, especialmente de tensão e deformação em sólidos. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a lei de Hooke generalizada e os conceitos de estado plano de tensões.
Passo 2
Vamos lembrar o que é a lei de Hooke generalizada. Ela relaciona as deformações () com as tensões () em um material elástico. Em forma matricial, para um material isotrópico, fica assim:
[
]
Mas como estamos lidando com estado plano de tensões, algumas coisas simplificam.
Passo 3
No estado plano de tensões, assumimos que as tensões na direção z são nulas: sigmaz = 0, e as forças de cisalhamento tauyz = tauxz = 0. Isso simplifica a matriz da lei de Hooke.
Passo 4
Com sigmaz = 0, podemos usar a equação da terceira linha da lei de Hooke:
sigmaz = E2(1 + nu) gammaz = 0
Isso nos leva a uma relação entre as deformações:
gammaz = 0
Mas gammaz está relacionada às deformações longitudinais varepsilonz, então precisamos explorar mais.
Passo 5
Sabemos que a deformação total varepsilonz pode ser expressa em termos das deformações nas direções x e y devido ao coeficiente de Poisson nu. A relação geral é:
varepsilonz = -nu (varepsilonx + varepsilony)
Mas queremos chegar à expressão:
varepsilonz = -nu1 - nu (varepsilonx + varepsilony)
Para isso, precisamos considerar a compatibilidade das deformações no estado plano de tensões.
Passo 6
Considerando que estamos num estado plano de tensões, a deformação na direção z não é independente, mas está relacionada às deformações nas direções x e y. Usando a condição de que sigmaz = 0, podemos derivar a relação específica para varepsilonz.
Após manipulações matemáticas envolvendo as relações de compatibilidade e o coeficiente de Poisson, chegamos à expressão desejada:
varepsilonz = -nu1 - nu (varepsilonx + varepsilony)
Resposta
Portanto, demonstramos que, usando a lei de Hooke generalizada para um estado plano de tensões, a deformação na direção z é dada por:
varepsilonz = -nu1 - nu (varepsilonx + varepsilony)