Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
(d)
é qualquer curva suave definida por partes desde o ponto
até o ponto
.
Sol.
K
(d)
Sol.
Passo 1
Então, vamos começar! O problema aqui é mostrar que o valor da integral de linha da força
não depende do caminho que escolhemos para ir do ponto
até o ponto
. Isso significa que a força é conservativa e existe uma função potencial
tal que
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos e integrais de linha.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a força
é conservativa. Um campo vetorial é conservativo se pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
. Para isso, precisamos checar se as derivadas cruzadas das componentes de
são iguais. Ou seja, se
para todas as combinações de
e
.
Passo 3
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, verificamos as condições para ser um campo conservativo calculando as derivadas parciais cruzadas. Se todas coincidirem, seguimos em frente.
Passo 4
Assumindo que
é conservativa, encontramos a função potencial
integrando as componentes de
. Vamos integrar cada componente em relação à sua variável correspondente:
- Integramos a componente
em relação a :
- Integramos a componente
em relação a :
- Integramos a componente
em relação a :
Aqui,
é uma constante de integração que pode depender de
e
, mas como já incluímos todas as variáveis nas integrais anteriores,
é apenas uma constante.
Resposta
A função potencial é dada por: