Demonstre que o valor da integral independe da trajetória, calculando o potencial
(d) F(x, y) = y / (1 + x^2 * y^2) * i + (x / (1 + x^2 * y^2) + z / raiz(1 + z^2 * y^2))
(y / raiz(1 + z^2 * y^2) + 1 / z) * k, C é qualquer curva suave definida por partes desde o ponto (1, 2, -1) até o ponto (2, 4, -2).
Sol. phi = arctan(xy) + arcsin(yz) + ln(|x|) K

Passo 1

Então, vamos começar! O problema aqui é mostrar que o valor da integral de linha da força não depende do caminho que escolhemos para ir do ponto (1, 2, -1) até o ponto (2, 4, -2). Isso significa que a força é conservativa e existe uma função potencial phi tal que . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como campos vetoriais conservativos e integrais de linha.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a força é conservativa. Um campo vetorial é conservativo se pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar phi. Para isso, precisamos checar se as derivadas cruzadas das componentes de F são iguais. Ou seja, se para todas as combinações de i e j.

Passo 3

Vamos identificar as componentes de F:
Agora, verificamos as condições para ser um campo conservativo calculando as derivadas parciais cruzadas. Se todas coincidirem, seguimos em frente.

Passo 4

Assumindo que F é conservativa, encontramos a função potencial phi integrando as componentes de F. Vamos integrar cada componente em relação à sua variável correspondente:
  1. Integramos a componente em relação a x:
  1. Integramos a componente em relação a y:
  1. Integramos a componente em relação a z:
Aqui, K é uma constante de integração que pode depender de x e y, mas como já incluímos todas as variáveis nas integrais anteriores, K é apenas uma constante.

Resposta

A função potencial é dada por:

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