Resolva os limites a seguir:
lim x pi / 6 2 sen^2 x+sen x-12 sen^2 x-3 sen x+1
R.: -3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem que calcular:
Esse exercício está relacionado a limites de funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber como calcular limites e, se necessário, usar a Regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir sen(pi6) = 12 diretamente na expressão para ver o que acontece.
Sabemos que:
Agora substituindo na expressão:
2 (12)^2 + 12 - 12 (12)^2 - 3 cdot 12 + 1 = 2 cdot 14 + 12 - 12 cdot 14 - 32 + 1 = 12 + 12 - 112 - 32 + 1 = 00
A gente acabou com uma forma indeterminada .

Passo 3

Quando encontramos uma forma indeterminada como limx to a f(x)g(x) = 00 ou inftyinfty , podemos usar a Regra de L’Hospital, que diz que se:
limx to a f(x)g(x) = limx to a f'(x)g'(x)
então:
Então, vamos derivar o numerador e o denominador.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas:
Para o numerador :
(Usei a regra da cadeia para , onde ).
Para o denominador :

Passo 5

Agora, vamos substituir sen(pi6) = 12, cos(pi6) = raiz32 nas derivadas:
Sabemos que:
Substituindo no numerador derivado:
f'(pi6) = 4 cdot 12 cdot raiz32 + raiz32 = 2 cdot raiz32 + raiz32 = raiz3 + raiz32 = 3raiz32
Substituindo no denominador derivado:
g'(pi6) = 4 cdot 12 cdot raiz32 - 3 cdot raiz32 = 2 cdot raiz32 - 3raiz32 = raiz3 - 3raiz32 = -raiz32

Passo 6

Agora, aplicando a Regra de L’Hospital:

Resposta

-3

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