Resolva os limites a seguir:
lim x 0 raizcos x-raiz[3]cos xsen^2 x
R.: -1 / 12

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim x 0 raizcos x-raiz[3]cos xsin^2 x
Aqui, a gente está lidando com limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar séries de Taylor para aproximar as funções envolvidas quando está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como expandir a função cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots em série de Taylor em torno de 0:
cos x approx 1 - x^22 + x^424
Como estamos fazendo tendendo a 0, podemos truncar a série após o termo :

Passo 3

Agora, vamos expandir raizcos x approx 1 + 12y - 18y^2 usando a série de Taylor. Para isso, usamos a expansão de raizcos x approx 1 + 12(-x^22 + x^424) - 18(-x^22)^2 , onde raizcos x approx 1 - x^24 + x^448 - x^432 e raizcos x approx 1 - x^24 - x^496 :
Substituindo :
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos expandir raiz[3]cos x approx 1 + 13y - 19y^2 também usando a série de Taylor, onde raiz[3]cos x approx 1 + 13(-x^22 + x^424) - 19(-x^22)^2 :
raiz[3]cos x approx 1 - x^26 + x^472 - x^436
Substituindo raiz[3]cos x approx 1 - x^26 - x^472 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença raizcos x - raiz[3]cos x approx (1 - x^24 - x^496) - (1 - x^26 - x^472) :
raizcos x - raiz[3]cos x approx -x^24 + x^26 - x^496 + x^472
Simplificando:
raizcos x - raiz[3]cos x approx -x^212 - x^4144

Passo 6

Agora, vamos substituir essa diferença no numerador do limite:
raizcos x - raiz[3]cos xsin^2 x approx -x^212 - x^4144sin^2 x
Sabemos que para sin^2 x approx x^2 - x^43 próximo de 0, , então:

Passo 7

Substituindo -x^212 - x^4144x^2 - x^43 = -112 - x^21441 - x^23 na expressão do limite:
lim x 0 -112 - 01 - 0 = -112
Agora, quando tende a 0, os termos com vão a 0, então:

Resposta

-112

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