Resolva os limites a seguir:
R.:
R.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
Aqui, a gente está lidando com limites e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar séries de Taylor para aproximar as funções envolvidas quando
está próximo de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como expandir a função
em série de Taylor em torno de 0:
Como estamos fazendo
tendendo a 0, podemos truncar a série após o termo
:
Passo 3
Agora, vamos expandir
usando a série de Taylor. Para isso, usamos a expansão de
, onde
e
:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos expandir
também usando a série de Taylor, onde
:
Substituindo
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos calcular a diferença
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos substituir essa diferença no numerador do limite:
Sabemos que para
próximo de 0,
, então:
Passo 7
Substituindo
na expressão do limite:
Agora, quando
tende a 0, os termos com
vão a 0, então: