Demonstrie que
d/dx [x^p J_{p(x)}] = x^p J_{p-1}(x)

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos demonstrar que a derivada de em relação a é igual a . Aqui, representa a função de Bessel de primeira espécie de ordem , que aparece frequentemente em problemas de física e engenharia. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto de derivadas e algumas propriedades das funções de Bessel.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a regra do produto para derivadas. Se temos duas funções e , a derivada do produto delas é:

Passo 3

Aplicando essa regra à expressão , identificamos:
Então, a derivada será:

Passo 4

Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de :

Passo 5

Agora, precisamos da derivada de em relação a . Uma propriedade importante das funções de Bessel é:

Passo 6

Substituindo as derivadas na expressão original:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:

Passo 8

Observando que , podemos reescrever o primeiro termo:
Substituindo de volta:

Passo 9

Usamos agora uma propriedade de recorrência das funções de Bessel:
Isolando :

Passo 10

Substituindo na expressão da derivada:

Passo 11

Distribuindo e simplificando os termos:
Os termos se cancelam:

Resposta

Então, demonstramos que:

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