Demonstrie que
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos demonstrar que a derivada de
em relação a
é igual a
. Aqui,
representa a função de Bessel de primeira espécie de ordem
, que aparece frequentemente em problemas de física e engenharia. Para resolver isso, vamos usar a regra do produto de derivadas e algumas propriedades das funções de Bessel.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a regra do produto para derivadas. Se temos duas funções
e
, a derivada do produto delas é:
Passo 3
Aplicando essa regra à expressão
, identificamos:
Então, a derivada será:
Passo 4
Vamos calcular cada termo separadamente. Primeiro, a derivada de
:
Passo 5
Agora, precisamos da derivada de
em relação a
. Uma propriedade importante das funções de Bessel é:
Passo 6
Substituindo as derivadas na expressão original:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Passo 8
Observando que
, podemos reescrever o primeiro termo:
Substituindo de volta:
Passo 9
Usamos agora uma propriedade de recorrência das funções de Bessel:
Isolando
:
Passo 10
Substituindo
na expressão da derivada:
Passo 11
Distribuindo e simplificando os termos:
Os termos
se cancelam:
Resposta
Então, demonstramos que:
Exercícios relacionados
Esboce o gráfico de um exemplo de função de f que satisfaz todas as condições dadas.
n)
n)
Esboce o gráfico de um exemplo de função de f que satisfaz todas as condições dadas.
j)
j)
Esboce
e a descreva em coordenadas polares.
Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais: