Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais: integral-2^2 integral0^raiz4-x^2(x^2+y^2) d y d x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla: . O objetivo é esboçar a região de integração e calcular essa integral usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter integrais em coordenadas cartesianas para polares e saber identificar a região que estamos integrando.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olhando os limites da integral interna , vemos que vai de 0 até . Isto representa a parte superior de um círculo com raio 2 (já que ) no primeiro e segundo quadrantes. O limite externo nos mostra que varia de -2 a 2. Então, a região de integração é a parte superior de um círculo de raio 2, acima do eixo .

Passo 3

Agora, vamos converter essa região para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde:
  • é a distância do ponto à origem.
  • é o ângulo que o raio faz com o eixo .
Para o nosso caso:
  • vai de 0 até 2 (o raio do círculo).
  • vai de 0 até radianos (já que estamos apenas na parte superior do círculo).

Passo 4

Vamos reescrever o integrando em coordenadas polares. Sabemos que integral0^pi integral0^2 (r^2) cdot r , dr , dtheta . Além disso, quando trocamos para coordenadas polares, precisamos incluir o termo integral0^pi integral0^2 r^3 , dr , dtheta que vem do determinante jacobiano da transformação. Então, a integral em coordenadas polares fica:
Simplificando, temos:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 r^3 , dr = [ r^44 ]0^2 = 2^44 - 0^44 = 164 = 4 :
integral0^pi 4 , dtheta = 4 theta gr|0^pi = 4pi - 0 = 4pi
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Resposta

O valor da integral é .

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