Esboce a região de integração e calcule usando coordenadas polares seguintes as integrais:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma integral dupla: . O objetivo é esboçar a região de integração e calcular essa integral usando coordenadas polares. Para isso, vamos precisar entender como converter integrais em coordenadas cartesianas para polares e saber identificar a região que estamos integrando.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região de integração. Olhando os limites da integral interna , vemos que vai de 0 até . Isto representa a parte superior de um círculo com raio 2 (já que ) no primeiro e segundo quadrantes. O limite externo nos mostra que varia de -2 a 2. Então, a região de integração é a parte superior de um círculo de raio 2, acima do eixo .
Passo 3
Agora, vamos converter essa região para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde:
é a distância do ponto à origem.
é o ângulo que o raio faz com o eixo .
Para o nosso caso:
vai de 0 até 2 (o raio do círculo).
vai de 0 até radianos (já que estamos apenas na parte superior do círculo).
Passo 4
Vamos reescrever o integrando em coordenadas polares. Sabemos que . Além disso, quando trocamos para coordenadas polares, precisamos incluir o termo que vem do determinante jacobiano da transformação. Então, a integral em coordenadas polares fica:
Simplificando, temos:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na integral externa: