Demostre que a função não tem um local máximo e nem um local mínimo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função não tem nem máximo local nem mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que ajudam a identificar pontos onde a função pode ter esses extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para identificar possíveis máximos e mínimos. Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
Vamos analisar essa equação.

Passo 4

Observamos que e são potências pares, o que significa que e são sempre positivos ou zero para qualquer valor real de . Portanto:
Somando tudo:
Isso mostra que a soma nunca é zero ou negativa.

Passo 5

Como a derivada nunca é igual a zero, não existem pontos críticos para essa função. Sem pontos críticos, não há como a função ter máximos ou mínimos locais.

Passo 6

Além disso, podemos observar o comportamento da função para valores grandes de :
  • Quando tende ao infinito positivo ou negativo, o termo dominante é , que cresce sem limites.
  • Isso indica que a função continua aumentando ou diminuindo sem se estabilizar em algum ponto, reforçando que não há extremos locais.

Resposta

A função não possui nenhum máximo local nem mínimo local porque sua derivada nunca é zero, indicando que não há pontos críticos onde esses extremos poderiam ocorrer.

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Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função
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