Demostre que a função
não tem um local máximo e nem um local mínimo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
não tem nem máximo local nem mínimo local. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, como derivadas, que ajudam a identificar pontos onde a função pode ter esses extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos dá a taxa de variação da função em cada ponto e é essencial para identificar possíveis máximos e mínimos. Vamos derivar termo a termo:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde podem estar os máximos ou mínimos), igualamos a derivada a zero:
Vamos analisar essa equação.
Passo 4
Observamos que
e
são potências pares, o que significa que
e
são sempre positivos ou zero para qualquer valor real de
. Portanto:
Somando tudo:
Isso mostra que a soma nunca é zero ou negativa.
Passo 5
Como a derivada
nunca é igual a zero, não existem pontos críticos para essa função. Sem pontos críticos, não há como a função ter máximos ou mínimos locais.
Passo 6
Além disso, podemos observar o comportamento da função para valores grandes de
:
- Quando
tende ao infinito positivo ou negativo, o termo dominante é , que cresce sem limites. - Isso indica que a função continua aumentando ou diminuindo sem se estabilizar em algum ponto, reforçando que não há extremos locais.
Resposta
A função
não possui nenhum máximo local nem mínimo local porque sua derivada nunca é zero, indicando que não há pontos críticos onde esses extremos poderiam ocorrer.
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.
Use a regra da cadeia para determinar
.
Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função
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