Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores de máximo e mínimo locais da função . Para isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Precisamos calcular a derivada da função, encontrar onde essa derivada é zero ou não existe, e depois analisar esses pontos para determinar se são máximos ou mínimos.

Passo 2

Vamos calcular a derivada de . A função é um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto:
Aqui, e .

Passo 3

Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :

Passo 4

Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Podemos fatorar :

Passo 5

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero, então:
Multiplicando ambos os lados por para se livrar do denominador:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, vamos verificar se é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou observar o comportamento da derivada primeira. Vamos usar a segunda derivada.

Passo 7

Calculando a segunda derivada . Primeiro, lembramos que:
Derivando novamente:
Aplicamos a regra do produto novamente:

Passo 8

Calculando as derivadas internas:
E:
Então:

Passo 9

Simplificando a expressão:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo local.

Resposta

A função possui um máximo local em com o valor máximo . Não há mínimos locais.

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Resp. c) ,
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