Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar os valores de máximo e mínimo locais da função . Para isso, vamos usar derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Precisamos calcular a derivada da função, encontrar onde essa derivada é zero ou não existe, e depois analisar esses pontos para determinar se são máximos ou mínimos.
Passo 2
Vamos calcular a derivada de . A função é um produto de duas funções: e . Para derivar um produto, usamos a regra do produto:
Aqui, e .
Passo 3
Primeiro, derivamos :
Depois, derivamos :
Passo 4
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Podemos fatorar :
Passo 5
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Sabemos que nunca é zero, então:
Multiplicando ambos os lados por para se livrar do denominador:
Resolvendo para :
Passo 6
Agora, vamos verificar se é um ponto de máximo ou mínimo. Para isso, podemos usar o teste da segunda derivada ou observar o comportamento da derivada primeira. Vamos usar a segunda derivada.
Passo 7
Calculando a segunda derivada . Primeiro, lembramos que:
Derivando novamente:
Aplicamos a regra do produto novamente:
Passo 8
Calculando as derivadas internas:
E:
Então:
Passo 9
Simplificando a expressão:
Calculando cada termo:
Substituindo:
Simplificando:
Como a segunda derivada é negativa, é um ponto de máximo local.
Resposta
A função possui um máximo local em com o valor máximo . Não há mínimos locais.