Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função

Passo 1

Vamos entender o que a questão pede e identificar o que precisamos para resolver. Precisamos encontrar os valores de máximos e mínimos locais da função no intervalo de a . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, para descobrir onde a função atinge esses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a função . A derivada nos mostra onde a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Resolvendo :
Sabemos que ocorre em e dentro do intervalo .

Passo 4

Vamos analisar o comportamento da derivada em torno desses pontos críticos para determinar se são máximos ou mínimos.
Para :
  • Se for um pouco menor que , por exemplo , então:
  • Se for um pouco maior que , por exemplo , então:
Como a derivada muda de positiva para negativa, isso indica que é um ponto de máximo local.
Para :
  • Se for um pouco menor que , por exemplo , então:
  • Se for um pouco maior que , por exemplo , então:
Como a derivada não muda de sinal, não é um ponto de máximo nem de mínimo local.

Resposta

A função tem um máximo local em . O valor da função nesse ponto é:
Não há mínimos locais no intervalo considerado.

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Demostre que a função não tem um local máximo e nem um local mínimo.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial. .
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Determine um fator integrante e resolva. , sen ;
Resp. c) ,