Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função
Passo 1
Vamos entender o que a questão pede e identificar o que precisamos para resolver. Precisamos encontrar os valores de máximos e mínimos locais da função
no intervalo de
a
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, para descobrir onde a função atinge esses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a função
. A derivada nos mostra onde a função está aumentando ou diminuindo.
A derivada de
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é zero ou não existe. Esses pontos são onde a função pode ter máximos ou mínimos locais.
Resolvendo
:
Sabemos que
ocorre em
e
dentro do intervalo
.
Passo 4
Vamos analisar o comportamento da derivada em torno desses pontos críticos para determinar se são máximos ou mínimos.
Para
:
- Se
for um pouco menor que , por exemplo , então: - Se
for um pouco maior que , por exemplo , então:
Como a derivada muda de positiva para negativa, isso indica que
é um ponto de máximo local.
Para
:
- Se
for um pouco menor que , por exemplo , então: - Se
for um pouco maior que , por exemplo , então:
Como a derivada não muda de sinal,
não é um ponto de máximo nem de mínimo local.
Resposta
A função
tem um máximo local em
. O valor da função nesse ponto é:
Não há mínimos locais no intervalo considerado.
Exercícios relacionados
Demostre que a função
não tem um local máximo e nem um local mínimo.
Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial.
.
Encontre os valores de máximo e mínimo locais da função
Determine um fator integrante e resolva.
, sen
;
Resp. c) ,
Resp. c)