Demostre as propriedades de matrizes: I. Comutação na soma de matrizes; II. Associação na soma de matrizes; III. Comutação no produto de matrizes por escalar; IV. Associação no produto de matrizes e V. Distribuição no produto de matriz por uma soma de matrizes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar cinco propriedades importantes das matrizes: comutação e associação na soma, comutação no produto por escalar, associação no produto de matrizes e distribuição do produto de uma matriz por uma soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra de matrizes, como operações de adição e multiplicação. Vamos passo a passo mostrar que essas propriedades valem para matrizes.
Passo 2
I. Comutação na soma de matrizes
Primeiro, vamos ver a comutação na soma de matrizes. Isso significa que se temos duas matrizes
e
do mesmo tamanho, a soma delas não depende da ordem:
.
Prova:
Considere duas matrizes
e
, onde
representa as linhas e
as colunas. A soma
é definida elemento a elemento:
Da mesma forma,
Como a adição de números reais é comutativa (
), temos:
Passo 3
II. Associação na soma de matrizes
Agora, vamos ver a associação na soma. Isso quer dizer que, se temos três matrizes
,
e
do mesmo tamanho, a maneira como agrupamos elas na soma não altera o resultado:
.
Prova:
Considerando as matrizes
,
e
, a soma pode ser calculada da seguinte forma:
Por outro lado,
Como a adição de números reais é associativa (
), temos:
Passo 4
III. Comutação no produto de matrizes por escalar
Vamos agora para a comutação no produto por escalar. Isso significa que multiplicar uma matriz
por um escalar
é o mesmo que multiplicar o escalar por
:
.
Prova:
Se
e
é um número real, então:
Como na multiplicação de números reais a ordem não altera o produto (
), temos:
Passo 5
IV. Associação no produto de matrizes
Agora, vamos falar sobre a associação no produto de matrizes. Isso quer dizer que, para três matrizes
,
e
que podem ser multiplicadas entre si, a forma como agrupamos na multiplicação não altera o resultado:
.
Prova:
Considere
de tamanho
,
de
e
de
. Então,
é uma matriz
onde cada elemento é calculado somando os produtos correspondentes.
Por outro lado,
também resulta em uma matriz
com os mesmos elementos, porque a multiplicação de matrizes é associativa. Isso significa que não importa se multiplicamos
por
primeiro e depois o resultado por
, ou multiplicamos
por
primeiro e depois
pelo resultado, o produto final será o mesmo.
Passo 6
V. Distribuição no produto de matriz por uma soma de matrizes
Por último, vamos ver a distribuição do produto de uma matriz por uma soma de matrizes. Isso significa que multiplicar uma matriz
pela soma de
e
é o mesmo que multiplicar
por
e
por
e depois somar os resultados:
.
Prova:
Tomando
de tamanho
e
,
de
, temos:
Aqui, a distribuição funciona porque cada elemento resultante de
é a soma dos produtos correspondentes em
e
.
Resposta
Demonstramos que todas as propriedades solicitadas das matrizes são válidas:
I.
II.
III.
IV.
V.
II.
III.
IV.
V.