Demostre as propriedades de matrizes: I. Comutação na soma de matrizes; II. Associação na soma de matrizes; III. Comutação no produto de matrizes por escalar; IV. Associação no produto de matrizes e V. Distribuição no produto de matriz por uma soma de matrizes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente demonstrar cinco propriedades importantes das matrizes: comutação e associação na soma, comutação no produto por escalar, associação no produto de matrizes e distribuição do produto de uma matriz por uma soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra de matrizes, como operações de adição e multiplicação. Vamos passo a passo mostrar que essas propriedades valem para matrizes.

Passo 2

I. Comutação na soma de matrizes
Primeiro, vamos ver a comutação na soma de matrizes. Isso significa que se temos duas matrizes A + B = [aij + bij] e B + A = [bij + aij] do mesmo tamanho, a soma delas não depende da ordem: A + B = B + A .
Prova:
Considere duas matrizes e , onde representa as linhas e as colunas. A soma é definida elemento a elemento:
Da mesma forma,
Como a adição de números reais é comutativa ( ), temos:

Passo 3

II. Associação na soma de matrizes
Agora, vamos ver a associação na soma. Isso quer dizer que, se temos três matrizes (A + B) + C = [ (aij + bij) ] + C = [ (aij + bij) + cij ] , A + (B + C) = A + [ (bij + cij) ] = [ aij + (bij + cij) ] e (A + B) + C = A + (B + C) do mesmo tamanho, a maneira como agrupamos elas na soma não altera o resultado: .
Prova:
Considerando as matrizes , e , a soma pode ser calculada da seguinte forma:
Por outro lado,
Como a adição de números reais é associativa ( ), temos:

Passo 4

III. Comutação no produto de matrizes por escalar
Vamos agora para a comutação no produto por escalar. Isso significa que multiplicar uma matriz kA = [k cdot aij] por um escalar Ak = [aij cdot k] é o mesmo que multiplicar o escalar por kA = Ak : .
Prova:
Se e é um número real, então:
Como na multiplicação de números reais a ordem não altera o produto ( ), temos:

Passo 5

IV. Associação no produto de matrizes
Agora, vamos falar sobre a associação no produto de matrizes. Isso quer dizer que, para três matrizes (AB)C , A(BC) e que podem ser multiplicadas entre si, a forma como agrupamos na multiplicação não altera o resultado: .
Prova:
Considere de tamanho , de e de . Então,
é uma matriz onde cada elemento é calculado somando os produtos correspondentes.
Por outro lado,
também resulta em uma matriz com os mesmos elementos, porque a multiplicação de matrizes é associativa. Isso significa que não importa se multiplicamos por primeiro e depois o resultado por , ou multiplicamos por primeiro e depois pelo resultado, o produto final será o mesmo.

Passo 6

V. Distribuição no produto de matriz por uma soma de matrizes
Por último, vamos ver a distribuição do produto de uma matriz por uma soma de matrizes. Isso significa que multiplicar uma matriz A(B + C) = A[B + C] = A[B] + A[C] = AB + AC pela soma de e é o mesmo que multiplicar por e por e depois somar os resultados: .
Prova:
Tomando de tamanho e , de , temos:
Aqui, a distribuição funciona porque cada elemento resultante de é a soma dos produtos correspondentes em e .

Resposta

Demonstramos que todas as propriedades solicitadas das matrizes são válidas:
I.
II.
III.
IV.
V.

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