Seja um vetor coluna genérico com linhas e o elemento de matriz identidade . Mostre que .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor coluna genérico, chamado , com linhas, e uma matriz identidade de dimensão . O exercício quer que a gente mostre que quando a gente multiplica a matriz identidade pelo vetor , o resultado é o próprio vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes e o que é a matriz identidade.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1, e todos os outros elementos são 0. Ou seja, para qualquer posição na matriz identidade , temos:
Aqui, é o delta de Kronecker, que vale 1 quando e 0 caso contrário.
Passo 3
Agora, vamos considerar o vetor coluna . Ele tem linhas, então podemos escrever:
Cada xk representa uma componente do vetor.
Passo 4
Vamos fazer a multiplicação da matriz identidade I pelo vetor |xrang<=. A regra para multiplicação de matrizes diz que cada elemento do resultado é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha da matriz pela coluna do vetor.
Como a matriz identidade tem Iij = de, isso simplifica muito as contas.
Passo 5
Vamos analisar cada linha da multiplicação:
Na primeira linha, temos I11x1 + I12x2 + dots + I1nxn. Como I11 = 1 e todas as outras I1j = 0 para j neq 1, isso resulta em 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + dots + 0 cdot xn = x1.
O mesmo acontece para as demais linhas. Cada linha i vai dar xi porque apenas Iii = 1 e os demais elementos são 0.