Seja um vetor coluna genérico |xrang<= com n linhas e Ii j=de o elemento de matriz identidade n times n. Mostre que I|xrang<==|xrang<=.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um vetor coluna genérico, chamado |xrang<=, com n linhas, e uma matriz identidade I de dimensão n times n. O exercício quer que a gente mostre que quando a gente multiplica a matriz identidade pelo vetor |xrang<=, o resultado é o próprio vetor |xrang<=. Para resolver isso, vamos precisar entender como funciona a multiplicação de matrizes e o que é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a matriz identidade. A matriz identidade é uma matriz quadrada onde todos os elementos da diagonal principal são 1, e todos os outros elementos são 0. Ou seja, para qualquer posição (i, j) na matriz identidade I, temos:
Iij = de
Aqui, de é o delta de Kronecker, que vale 1 quando i = j e 0 caso contrário.

Passo 3

Agora, vamos considerar o vetor coluna |xrang<=. Ele tem n linhas, então podemos escrever:
|xrang<= = x1 x2 vdots xn
Cada xk representa uma componente do vetor.

Passo 4

Vamos fazer a multiplicação da matriz identidade I pelo vetor |xrang<=. A regra para multiplicação de matrizes diz que cada elemento do resultado é a soma dos produtos dos elementos correspondentes da linha da matriz pela coluna do vetor.
Ou seja:
I |xrang<= = I11x1 + I12x2 + dots + I1nxn I21x1 + I22x2 + dots + I2nxn vdots In1x1 + In2x2 + dots + Innxn
Como a matriz identidade tem Iij = de, isso simplifica muito as contas.

Passo 5

Vamos analisar cada linha da multiplicação:
  • Na primeira linha, temos I11x1 + I12x2 + dots + I1nxn. Como I11 = 1 e todas as outras I1j = 0 para j neq 1, isso resulta em 1 cdot x1 + 0 cdot x2 + dots + 0 cdot xn = x1.
  • O mesmo acontece para as demais linhas. Cada linha i vai dar xi porque apenas Iii = 1 e os demais elementos são 0.
Então, o produto fica:
I |xrang<= = x1 x2 vdots xn = |xrang<=

Resposta

Portanto, mostramos que I|xrang<= = |xrang<=.

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