Se u=i-3 j+2 k, v=3 i+2 j-5 k e w=2 i-j+2 k, encontre u times(v times w) e (u times v) times w. Comente o resultado.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de vetores! A gente precisa encontrar dois produtos vetoriais: u times (v times w) e (u times v) times w. Para isso, vamos usar a regra do produto vetorial e algumas propriedades de vetores. Vamos precisar lembrar como calcular o produto vetorial entre dois vetores e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular v times w. Usando a regra do determinante:
v times w = i & j & k 3 & 2 & -5 2 & -1 & 2
Calculando o determinante:
v times w = i(2 cdot 2 - (-5) cdot (-1)) - j(3 cdot 2 - (-5) cdot 2) + k(3 cdot (-1) - 2 cdot 2)
= i(4 - 5) - j(6 + 10) + k(-3 - 4)
= -i - 16j -7k
Então, v times w = -i -16j -7k.

Passo 3

Agora vamos calcular u times (v times w). Com v times w = -i -16j -7k e u = i -3j +2k:
u times (v times w) = i & j & k 1 & -3 & 2 -1 & -16 & -7
Calculando o determinante:
i((-3)(-7) - 2(-16)) - j(1(-7) - 2(-1)) + k(1(-16) - (-3)(-1))
= i(21 + 32) - j(-7 + 2) + k(-16 -3)
= 53i +5j -19k
Então, u times (v times w) = 53i +5j -19k.

Passo 4

Agora, vamos calcular (u times v) times w. Primeiro, encontramos u times v:
u times v = i & j & k 1 & -3 & 2 3 & 2 & -5
Calculando o determinante:
i((-3)(-5) - 2 cdot 2) - j(1(-5) - 2 cdot 3) + k(1 cdot 2 - (-3) cdot 3)
= i(15 -4) - j(-5 -6) + k(2 +9)
= 11i +11j +11k
Então, u times v = 11i +11j +11k.

Passo 5

Agora, calculamos (u times v) times w com u times v = 11i +11j +11k e w = 2i -j +2k:
(u times v) times w = i & j & k 11 & 11 & 11 2 & -1 & 2
Calculando o determinante:
i(11 cdot 2 - 11 cdot (-1)) - j(11 cdot 2 -11 cdot 2) + k(11 cdot (-1) -11 cdot 2)
= i(22 +11) - j(22 -22) + k(-11 -22)
= 33i +0j -33k
Então, (u times v) times w = 33i -33k.

Resposta

u times (v times w) = 53i +5j -19k e (u times v) times w = 33i -33k. Os resultados mostram que o produto vetorial não é associativo, ou seja, a ordem dos produtos afeta o resultado final.

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