Usando a fórmula de interpolação de Lagrange sobre os pontos e para a função .
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime pelo polinômio interpolador.
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de dado pela sua calculadora e compare com o valor estimado pela interpolação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a fórmula de interpolação de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador que passa pelos pontos dados: , e , aplicando na função . Depois, vamos usar esse polinômio para estimar , verificar o erro dessa estimativa e comparar com o valor real encontrado na calculadora. Vamos nessa!

Passo 2

a) Determinar o polinômio interpolador
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Lagrange para interpolar um polinômio que passa por esses três pontos. A fórmula geral é:
Onde cada é o polinômio base de Lagrange, dado por:
Vamos calcular cada :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio :
Sabendo que :
Então:
Podemos simplificar isso, mas vamos deixar dessa forma por enquanto.

Passo 3

b) Estimar pelo polinômio interpolador
Agora, queremos estimar usando o polinômio que encontramos. Basta substituir na expressão de :
Calculando cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Somando tudo:
Então, a estimativa de pelo polinômio interpolador é aproximadamente 4,126.

Passo 4

c) Avaliar a precisão da estimativa usando um limitante para o erro da interpolação
O erro na interpolação de Lagrange é dado por:
Onde:
  • é o grau do polinômio. Aqui, usamos três pontos, então .
  • é a -ésima derivada de avaliada em algum no intervalo considerado.
Para , a terceira derivada é:
Então:
Calculando cada parte:
  1. Máximo de em [9,25]:
Essa função é decrescente para , então o máximo ocorre em :
  1. Fatorial e produto:
  1. Erro máximo:
Então, o erro na estimativa de pelo polinômio interpolador é no máximo aproximadamente 0,0055.

Passo 5

d) Comparar com o valor de dado pela calculadora
Vamos calcular com a calculadora:
Lembra que nossa estimativa pelo polinômio foi:
Agora, vamos ver a diferença:
Esse erro real de aproximadamente 0,0029 está dentro do limite que calculamos anteriormente (0,0055), o que confirma que nossa estimativa está bem precisa!

Resposta

Através da interpolação de Lagrange, o polinômio interpolador é:
Usando esse polinômio, estimamos que . A precisão dessa estimativa tem um erro máximo de aproximadamente . Comparando com o valor real de , a diferença é de cerca de , confirmando que nossa estimativa está bem precisa.

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