Usando a fórmula de interpolação de Lagrange sobre os pontos x0=9, x1=16 e x2=25 para a função f(x)=raizx.
(a) Determine o polinômio interpolador.
(b) Estime raiz17 pelo polinômio interpolador.
© Avalie a precisão da estimativa, usando um limitante para o erro da interpolação .
(d) Utilize o valor de raiz17 dado pela sua calculadora e compare com o valor estimado pela interpolação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai usar a fórmula de interpolação de Lagrange para encontrar um polinômio interpolador que passa pelos pontos dados: , e , aplicando na função . Depois, vamos usar esse polinômio para estimar , verificar o erro dessa estimativa e comparar com o valor real encontrado na calculadora. Vamos nessa!

Passo 2

a) Determinar o polinômio interpolador
Primeiro, vamos lembrar da fórmula de Lagrange para interpolar um polinômio que passa por esses três pontos. A fórmula geral é:
P(x) = sumi=0^2 f(xi) cdot Li(x)
Onde cada Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^2 x - xjxi - xj é o polinômio base de Lagrange, dado por:
L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 16)(x - 25)(9 - 16)(9 - 25) = (x - 16)(x - 25)(-7)(-16) = (x - 16)(x - 25)112
Vamos calcular cada L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x - 9)(x - 25)(16 - 9)(16 - 25) = (x - 9)(x - 25)7 cdot (-9) = -(x - 9)(x - 25)63 :
  1. Para L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x - 9)(x - 16)(25 - 9)(25 - 16) = (x - 9)(x - 16)16 cdot 9 = (x - 9)(x - 16)144 :
P(x) = f(9) cdot L0(x) + f(16) cdot L1(x) + f(25) cdot L2(x)
  1. Para f(9) = 3, f(16) = 4, f(25) = 5 :
P(x) = 3 cdot (x - 16)(x - 25)112 + 4 cdot (-(x - 9)(x - 25)63) + 5 cdot (x - 9)(x - 16)144
  1. Para :
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio :
Sabendo que :
Então:
Podemos simplificar isso, mas vamos deixar dessa forma por enquanto.

Passo 3

b) Estimar P(17) = 3 cdot (17 - 16)(17 - 25)112 + 4 cdot (-(17 - 9)(17 - 25)63) + 5 cdot (17 - 9)(17 - 16)144 pelo polinômio interpolador
Agora, queremos estimar 3 cdot (1)(-8)112 = 3 cdot -8112 = 3 cdot (-114) = -314 approx -0,2143 usando o polinômio 4 cdot (-(8)(-8)63) = 4 cdot (--6463) = 4 cdot 6463 approx 4,0635 que encontramos. Basta substituir 5 cdot (8)(1)144 = 5 cdot 8144 = 5 cdot 118 approx 0,2778 na expressão de P(17) approx -0,2143 + 4,0635 + 0,2778 approx 4,126 :
Calculando cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
Somando tudo:
Então, a estimativa de pelo polinômio interpolador é aproximadamente 4,126.

Passo 4

c) Avaliar a precisão da estimativa usando um limitante para o erro da interpolação
O erro E(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)! prodi=0^n (x - xi) na interpolação de Lagrange é dado por:
f'''(x) = d^3dx^3 x^1/2 = d^2dx^2 (12x^-1/2) = ddx (-14x^-3/2) = 38x^-5/2
Onde:
  • |E(17)| <= maxxi in [9,25] |f'''(xi)|3! cdot |(17 - 9)(17 - 16)(17 - 25)| é o grau do polinômio. Aqui, usamos três pontos, então |f'''(x)| = |38x^-5/2| = 38x^-5/2 .
  • max |f'''(xi)| = 38 cdot 9^-5/2 = 38 cdot 1243 raiz9 = 38 cdot 1243 cdot 3 = 38 cdot 1729 = 11944 approx 0,000514 é a 3! = 6 -ésima derivada de |(17 - 9)(17 - 16)(17 - 25)| = |8 cdot 1 cdot (-8)| = 64 avaliada em algum |E(17)| <= 0,0005146 cdot 64 approx 0,0005146 cdot 64 approx 0,00548 no intervalo considerado.
Para , a terceira derivada é:
Então:
Calculando cada parte:
  1. Máximo de em [9,25]:
Essa função é decrescente para , então o máximo ocorre em :
  1. Fatorial e produto:
  1. Erro máximo:
Então, o erro na estimativa de pelo polinômio interpolador é no máximo aproximadamente 0,0055.

Passo 5

d) Comparar com o valor de raiz17 approx 4,1231 dado pela calculadora
Vamos calcular P(17) approx 4,126 com a calculadora:
|4,126 - 4,1231| = 0,0029
Lembra que nossa estimativa pelo polinômio foi:
Agora, vamos ver a diferença:
Esse erro real de aproximadamente 0,0029 está dentro do limite que calculamos anteriormente (0,0055), o que confirma que nossa estimativa está bem precisa!

Resposta

Através da interpolação de Lagrange, o polinômio interpolador é:
P(x) = 3 cdot (x - 16)(x - 25)112 - 4 cdot (x - 9)(x - 25)63 + 5 cdot (x - 9)(x - 16)144
Usando esse polinômio, estimamos que . A precisão dessa estimativa tem um erro máximo de aproximadamente . Comparando com o valor real de , a diferença é de cerca de , confirmando que nossa estimativa está bem precisa.

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