Se p denota o preço de venda de um artigo e x é a procura correspondente (em número de artigos vendidos por dia, então a relação entre p e x pode ser dada por p(x) = p0 * e^(-a * x) para constantes positivas p 0 e a. Suponha p(x) = 300 * e^(-0.02 * x). Determine o preço de venda que maximize a receita diária.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que relaciona o preço de venda de um artigo, , com a quantidade vendida por dia, . A função dada é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual preço de venda vai maximizar a receita diária. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente sobre maximização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a receita diária, , é calculada multiplicando o preço pelo número de artigos vendidos:
Substituindo na equação:
Então, nossa função de receita é .

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza a receita, precisamos derivar em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero podem ser máximos ou mínimos da função.
Vamos derivar :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero, temos:
Resolvendo para :

Passo 5

Então, a quantidade que maximiza a receita é 50 artigos por dia. Agora, vamos encontrar o preço correspondente usando a função :

Resposta

O preço de venda que maximiza a receita diária é aproximadamente R$ 110,37.

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<html><head></head><body><div>Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia:<br>
H(x) <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.186ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“7.948ex” height=“2.072ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 3513 915.9”><title>sec^5(x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 328L390 327H72Q56 332 56 347ZM56 153Q56 168 72 173H708Q722 163 722 153Q722 140 707 133H70Q56 140 56 153Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(1055.8,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“73” d=“M295 316Q295 356 268 385T190 414Q154 414 128 401Q98 382 98 349Q97 344 98 336T114 312T157 287Q175 282 201 278T245 269T277 256Q294 248 310 236T342 195T359 133Q359 71 321 31T198 -10H190Q138 -10 94 26L86 19L77 10Q71 4 65 -1L54 -11H46H42Q39 -11 33 -5V74V132Q33 153 35 157T45 162H54Q66 162 70 158T75 146T82 119T101 77Q136 26 198 26Q295 26 295 104Q295 133 277 151Q257 175 194 187T111 210Q75 227 54 256T33 318Q33 357 50 384T93 424T143 442T187 447H198Q238 447 268 432L283 424L292 431Q302 440 314 448H322H326Q329 448 335 442V310L329 304H301Q295 310 295 316Z”></path><path data-c=“65” d=“M28 218Q28 273 48 318T98 391T163 433T229 448Q282 448 320 430T378 380T406 316T415 245Q415 238 408 231H126V216Q126 68 226 36Q246 30 270 30Q312 30 342 62Q359 79 369 104L379 128Q382 131 395 131H398Q415 131 415 121Q415 117 412 108Q393 53 349 21T250 -11Q155 -11 92 58T28 218ZM333 275Q322 403 238 411H236Q228 411 220 410T195 402T166 381T143 340T127 274V267H333V275Z” transform=“translate(394,0)”></path><path data-c=“63” d=“M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z” transform=“translate(838,0)”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(1315,363) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“35” d=“M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2774.3,0)”><path data-c=“2061” d=””></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(2941,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia:<br>
<span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“
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</body></html>
<html><head></head><body><div>Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia:<br>
<span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“
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<html><head></head><body><div>Resolva as seguintes devivadas usando a regra da cadeia:<br>
<span class="math-inline ">
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