Se p denota o preço de venda de um artigo e x é a procura correspondente (em número de artigos vendidos por dia, então a relação entre p e x pode ser dada por
para constantes positivas
e
. Suponha
. Determine o preço de venda que maximize a receita diária.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que relaciona o preço de venda de um artigo,
, com a quantidade vendida por dia,
. A função dada é
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual preço de venda vai maximizar a receita diária. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente sobre maximização de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a receita diária,
, é calculada multiplicando o preço pelo número de artigos vendidos:
Substituindo
na equação:
Então, nossa função de receita é
.
Passo 3
Para encontrar o valor de
que maximiza a receita, precisamos derivar
em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero podem ser máximos ou mínimos da função.
Vamos derivar
:
Usando a regra do produto:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como
nunca é zero, temos:
Resolvendo para
:
Passo 5
Então, a quantidade que maximiza a receita é 50 artigos por dia. Agora, vamos encontrar o preço correspondente usando a função
:
Resposta
O preço de venda que maximiza a receita diária é aproximadamente R$ 110,37.