Se p denota o preço de venda de um artigo e x é a procura correspondente (em número de artigos vendidos por dia, então a relação entre p e x pode ser dada por p(x) = p0 * e^(-a * x) para constantes positivas p 0 e a. Suponha p(x) = 300 * e^(-0.02 * x). Determine o preço de venda que maximize a receita diária.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função que relaciona o preço de venda de um artigo, , com a quantidade vendida por dia, . A função dada é . Nosso objetivo aqui é descobrir qual preço de venda vai maximizar a receita diária. Para isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente sobre maximização de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a receita diária, , é calculada multiplicando o preço pelo número de artigos vendidos:
Substituindo na equação:
Então, nossa função de receita é .

Passo 3

Para encontrar o valor de que maximiza a receita, precisamos derivar em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero podem ser máximos ou mínimos da função.
Vamos derivar :
Usando a regra do produto:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Como nunca é zero, temos:
Resolvendo para :

Passo 5

Então, a quantidade que maximiza a receita é 50 artigos por dia. Agora, vamos encontrar o preço correspondente usando a função :

Resposta

O preço de venda que maximiza a receita diária é aproximadamente R$ 110,37.

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