Denotamos por [x] ao maior inteiro que é menor ou igual a x. Por exemplo [3,254] = 3 ; [5,21] = 5 ; [-1,6] = -2. A função f(x) = [x] recebe o nome de parte inteira de x. Grafique:
(a) f(x) = [x],
(b) g(x) = x - [x],
© h(x) = [1/x].

Passo 1

O enunciado pede para graficarmos três funções que usam a parte inteira de um número, denotada por [x]. A parte inteira é o maior número inteiro que é menor ou igual a x. Vamos precisar entender como essa função funciona e como ela se aplica nas funções dadas para conseguir desenhar seus gráficos.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): .
A função parte inteira, [x], pega qualquer número real x e retorna o maior inteiro que não é maior que x. Por exemplo:
Isso significa que para cada intervalo inteiro, a função f(x) permanece constante. Entre dois inteiros consecutivos, a função f(x) tem o mesmo valor inteiro.

Passo 3

Para graficar , vamos considerar diferentes intervalos de x:
  • Para ,
  • Para ,
  • Para ,
  • E assim por diante.
Cada intervalo gera um segmento horizontal no gráfico, e nos pontos inteiros, a função salta para o próximo valor inteiro.

Passo 4

Agora, vamos para a parte (b): .
Essa função calcula a parte fracionária de x. Ou seja, ela retorna o que sobra de x após retirar a parte inteira. Por exemplo:
  • Se , então
  • Se , então
  • Se , então

Passo 5

Para graficar , observamos que a parte fracionária sempre está entre 0 e 1. O gráfico será uma linha que sobe de 0 até quase 1 e então “recomeça” de $0" no próximo inteiro.
  • Para , varia de a
  • Para , varia de a
  • E assim por diante.

Passo 6

Finalmente, vamos para a parte ©: .
Essa função é um pouco mais complexa porque envolve a fração 1/x antes de aplicar a parte inteira. Precisamos analisar o comportamento de 1/x para diferentes valores de x:
  • Para , 1/x diminui conforme x aumenta.
  • Para , 1/x também diminui, mas no sentido negativo.
Precisamos identificar onde 1/x atinge valores inteiros para determinar os pontos de salto no gráfico.

Passo 7

Para graficar , consideramos os seguintes casos:
  • Quando : 1/x está entre 0 e 1, então
  • Quando x = 1: , então
  • Quando : , então h(x) será o maior inteiro menor ou igual a 1/x
  • Para : 1/x é negativo, e a parte inteira de um número negativo é o menor inteiro mais próximo. Por exemplo,
Isso cria saltos no gráfico nos pontos onde 1/x é exatamente um inteiro.

Resposta

Com base nos passos acima, os gráficos das funções são:
(a) : Uma série de segmentos horizontais onde, em cada intervalo inteiro, a função mantém um valor constante igual ao inteiro correspondente.
(b) : Uma linha que aumenta de 0 a 1 dentro de cada intervalo inteiro e reinicia no próximo inteiro.
© : Uma função que possui valores constantes para e , com saltos nos pontos onde 1/x é um número inteiro, variando de acordo com o valor de x.

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