Descreva o gráfico da função em termos do gráfico de nos seguintes casos:
(a)
(b) ,
©
(d) ,
(e)
(f)
(g) .
[nos itens © e (d) considere os casos , e ].

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos descrever como o gráfico da função se relaciona com o gráfico da função em diferentes situações. Para isso, vamos usar conceitos de transformações de funções, como translação, dilatação e reflexo. Vamos precisar entender como essas transformações afetam o gráfico original de .

Passo 2

(a)

Quando adicionamos uma constante a , estamos realizando uma translação vertical do gráfico. Isso significa que todo o gráfico de será deslocado para cima se ou para baixo se por uma distância igual a .
Exemplo:
Se e , então será o gráfico de movido 3 unidades para cima.

(b)

Aqui, estamos substituindo por dentro da função , o que resulta em uma translação horizontal do gráfico. Se , o gráfico se desloca para a esquerda. Se , o gráfico se desloca para a direita.
Exemplo:
Com e , move o gráfico 2 unidades para a esquerda.

©

Multiplicar a função por uma constante afeta o gráfico de diferentes maneiras, dependendo do valor de :
  • : . O gráfico é simplesmente a linha .
  • : O gráfico é esticado verticalmente se ou comprimido verticalmente se .
  • : Além da esticagem ou compressão, o gráfico também sofre uma reflexão em relação ao eixo x.
Exemplo:
Se e , então será o gráfico de esticado verticalmente por 2 e refletido no eixo x.

(d)

Multiplicar por uma constante dentro da função afeta o gráfico de acordo com o valor de :
  • : . O gráfico será uma linha horizontal no valor .
  • :
    • Se , o gráfico é esticado horizontalmente.
    • Se , o gráfico é comprimido horizontalmente.
  • : Além da esticagem ou compressão, o gráfico sofre uma reflexão em relação ao eixo y.
Exemplo:
Para e , , que é o gráfico de refletido no eixo y.

(e)

Aplicar o valor absoluto à função afeta o gráfico de forma que todas as partes do gráfico que estão abaixo do eixo x sejam refletidas acima do eixo x. Ou seja, será sempre não negativa.
Exemplo:
Se , então terá uma “V” no ponto .

(f)

Aqui, estamos tomando o valor máximo entre e 0 para cada . Isso significa que o gráfico de será igual ao de quando for positivo ou zero, e será 0 quando for negativo. É como “cortar” a parte do gráfico que está abaixo do eixo x e substituir por 0.
Exemplo:
Para , mostrará apenas as partes onde .

(g)

Neste caso, estamos tomando o valor mínimo entre e 0 para cada . O gráfico de será igual ao de quando for negativo ou zero, e será 0 quando for positivo. É como “cortar” a parte do gráfico que está acima do eixo x e substituir por 0.
Exemplo:
Se , então mostrará apenas as partes onde .

Resposta

Descrevemos como o gráfico de se relaciona com o gráfico de em cada caso:
  • (a) Translação vertical por .
  • (b) Translação horizontal por .
  • © Esticagem/compressão vertical e possível reflexão dependendo de .
  • (d) Esticagem/compressão horizontal e possível reflexão dependendo de .
  • (e) Reflexão das partes negativas acima do eixo x.
  • (f) Manutenção das partes positivas e zero para as negativas.
  • (g) Manutenção das partes negativas e zero para as positivas.

Exercícios relacionados

Classifique como par, ímpar ou nenhuma das duas coisas as seguintes funções:
(a)
(b) ,
© ,
(d) .
Se é uma função par e ímpar ao mesmo tempo o que pode dizer sobre ?
Denotamos por ao maior inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo . A função recebe o nome de parte inteira de . Grafique:
(a) ,
(b) ,
© .
Dizemos que uma função é par se para todo . Uma função é ímpar toda vez que para todo .
(a) Verifique que é uma função ímpar e que é par.
(b) Dê exemplos de funções que não sejam nem pares nem ímpares.
© Como você viu no item (b), nem toda função é par ou ímpar; porém sempre é possível escrever qualquer função como soma de uma função par e outra ímpar:
onde e . Mostre que de fato é uma função par e é ímpar. [Observe que esta decomposição é única].