Descreva o gráfico da função
em termos do gráfico de
nos seguintes casos:
(a)
(b)
,
©
(d)
,
(e)
(f)
(g)
.
[nos itens © e (d) considere os casos
, e
].
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
[nos itens © e (d) considere os casos
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Precisamos descrever como o gráfico da função
se relaciona com o gráfico da função
em diferentes situações. Para isso, vamos usar conceitos de transformações de funções, como translação, dilatação e reflexo. Vamos precisar entender como essas transformações afetam o gráfico original de
.
Passo 2
(a)
Quando adicionamos uma constante
a
, estamos realizando uma translação vertical do gráfico. Isso significa que todo o gráfico de
será deslocado para cima se
ou para baixo se
por uma distância igual a
.
Exemplo:
Se e
, então
será o gráfico de
movido 3 unidades para cima.
Se
(b)
Aqui, estamos substituindo
por
dentro da função
, o que resulta em uma translação horizontal do gráfico. Se
, o gráfico se desloca para a esquerda. Se
, o gráfico se desloca para a direita.
Exemplo:
Com e
,
move o gráfico 2 unidades para a esquerda.
Com
©
Multiplicar a função por uma constante
afeta o gráfico de diferentes maneiras, dependendo do valor de
:
-
: . O gráfico é simplesmente a linha . -
: O gráfico é esticado verticalmente se ou comprimido verticalmente se . -
: Além da esticagem ou compressão, o gráfico também sofre uma reflexão em relação ao eixo x.
Exemplo:
Se e
, então
será o gráfico de
esticado verticalmente por 2 e refletido no eixo x.
Se
(d)
Multiplicar
por uma constante
dentro da função afeta o gráfico de acordo com o valor de
:
-
: . O gráfico será uma linha horizontal no valor . -
: - Se
, o gráfico é esticado horizontalmente. - Se
, o gráfico é comprimido horizontalmente.
- Se
-
: Além da esticagem ou compressão, o gráfico sofre uma reflexão em relação ao eixo y.
Exemplo:
Para e
,
, que é o gráfico de
refletido no eixo y.
Para
(e)
Aplicar o valor absoluto à função
afeta o gráfico de forma que todas as partes do gráfico que estão abaixo do eixo x sejam refletidas acima do eixo x. Ou seja,
será sempre não negativa.
Exemplo:
Se , então
terá uma “V” no ponto
.
Se
(f)
Aqui, estamos tomando o valor máximo entre
e 0 para cada
. Isso significa que o gráfico de
será igual ao de
quando
for positivo ou zero, e será 0 quando
for negativo. É como “cortar” a parte do gráfico que está abaixo do eixo x e substituir por 0.
Exemplo:
Para ,
mostrará apenas as partes onde
.
Para
(g)
Neste caso, estamos tomando o valor mínimo entre
e 0 para cada
. O gráfico de
será igual ao de
quando
for negativo ou zero, e será 0 quando
for positivo. É como “cortar” a parte do gráfico que está acima do eixo x e substituir por 0.
Exemplo:
Se , então
mostrará apenas as partes onde
.
Se
Resposta
Descrevemos como o gráfico de
se relaciona com o gráfico de
em cada caso:
- (a) Translação vertical por
. - (b) Translação horizontal por
. - © Esticagem/compressão vertical e possível reflexão dependendo de
. - (d) Esticagem/compressão horizontal e possível reflexão dependendo de
. - (e) Reflexão das partes negativas acima do eixo x.
- (f) Manutenção das partes positivas e zero para as negativas.
- (g) Manutenção das partes negativas e zero para as positivas.
Exercícios relacionados
Classifique como par, ímpar ou nenhuma das duas coisas as seguintes funções:
(a)
(b) ,
© ,
(d) .
(a)
(b)
©
(d)
Se
é uma função par e ímpar ao mesmo tempo o que pode dizer sobre
?
Denotamos por
ao maior inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo
. A função
recebe o nome de parte inteira de
. Grafique:
(a) ,
(b) ,
© .
(a)
(b)
©
Dizemos que uma função
é par se
para todo
. Uma função é ímpar toda vez que
para todo
.
(a) Verifique que é uma função ímpar e que
é par.
(b) Dê exemplos de funções que não sejam nem pares nem ímpares.
© Como você viu no item (b), nem toda função é par ou ímpar; porém sempre é possível escrever qualquer função como soma de uma função par e outra ímpar:
(a) Verifique que
(b) Dê exemplos de funções que não sejam nem pares nem ímpares.
© Como você viu no item (b), nem toda função é par ou ímpar; porém sempre é possível escrever qualquer função como soma de uma função par e outra ímpar:
onde
e
. Mostre que de fato
é uma função par e
é ímpar. [Observe que esta decomposição é única].