Dizemos que uma função
é par se
para todo
. Uma função é ímpar toda vez que
para todo
.
(a) Verifique que
é uma função ímpar e que
é par.
(b) Dê exemplos de funções que não sejam nem pares nem ímpares.
© Como você viu no item (b), nem toda função é par ou ímpar; porém sempre é possível escrever qualquer função como soma de uma função par e outra ímpar:
onde
e
. Mostre que de fato
é uma função par e
é ímpar. [Observe que esta decomposição é única].
(a) Verifique que
(b) Dê exemplos de funções que não sejam nem pares nem ímpares.
© Como você viu no item (b), nem toda função é par ou ímpar; porém sempre é possível escrever qualquer função como soma de uma função par e outra ímpar:
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente vai falar sobre funções pares e ímpares, que são conceitos importantes em matemática. Uma função é par se, quando a gente troca
por
, ela continua igual, ou seja,
. Já uma função é ímpar se, ao trocar
por
, a função vira o contrário, ou seja,
.
Vamos precisar usar essas definições para:
- Verificar se algumas funções são pares ou ímpares.
- Dar exemplos de funções que não são nem pares nem ímpares.
- Mostrar que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.
Passo 2
Parte (a): Verificar se as funções são pares ou ímpares
Vamos começar verificando as duas funções:
-
Função
-
Passo 2.1: Calcular
: -
Passo 2.2: Comparar
com e : Isso mostra que, então a função é ímpar.
-
-
Função
-
Passo 2.3: Calcular
: -
Passo 2.4: Comparar
com : Isso mostra que, então a função é par.
-
Passo 3
Parte (b): Dar exemplos de funções que não são nem pares nem ímpares
Vamos pensar em funções simples e verificar se elas não se encaixam nas definições de par ou ímpar.
-
Função
- Verificação:
Portanto, não é nem par nem ímpar.
- Verificação:
-
Função
- Verificação:
Na verdade, essa função é ímpar, então vamos escolher outra.
- Verificação:
-
Função
- Verificação:
Portanto, essa função não é nem par nem ímpar.
- Verificação:
Passo 4
Parte ©: Mostrar que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar
Vamos usar as fórmulas dadas:
-
Mostrar que
é par: - Calculando
: Isso mostra que , então é par.
- Calculando
-
Mostrar que
é ímpar: - Calculando
: Isso mostra que , então é ímpar.
- Calculando
Resposta
Mostramos que:
-
é uma função par. -
é uma função ímpar.
Portanto, qualquer função
pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar de forma única:
Exercícios relacionados
Denotamos por
ao maior inteiro que é menor ou igual a
. Por exemplo
. A função
recebe o nome de parte inteira de
. Grafique:
(a) ,
(b) ,
© .
(a)
(b)
©
Descreva o gráfico da função
em termos do gráfico de
nos seguintes casos:
(a)
(b) ,
©
(d) ,
(e)
(f)
(g) .
[nos itens © e (d) considere os casos , e
].
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
[nos itens © e (d) considere os casos
Descreva como seria o gráfico de uma função que seja,
(a) par;
(b) ímpar;
© não negativa;
(d) Periódica de período , isto é:
, para todo
.
(a) par;
(b) ímpar;
© não negativa;
(d) Periódica de período
Faça um esboço do gráfico das funções
e
definidas a continuação e compare seu comportamento para valores grandes de
:
(a) .
(b) .
(a)
(b)