Dizemos que uma função f é par se f(-x) = f(x) para todo x. Uma função é ímpar toda vez que f(-x) = -f(x) para todo x.
(a) Verifique que f(x) = 2x / (1 + x^2) é uma função ímpar e que f(x) = 2 x^4 - 3 x^2 é par.
(b) Dê exemplos de funções que não sejam nem pares nem ímpares.
© Como você viu no item (b), nem toda função é par ou ímpar; porém sempre é possível escrever qualquer função como soma de uma função par e outra ímpar:
f(x) = f_par(x) + f_impar(x)
onde f_par(x) = (f(x) + f(-x)) / 2 e f_impar(x) = (f(x) - f(-x)) / 2. Mostre que de fato f_par(x) é uma função par e f_impar(x) é ímpar. [Observe que esta decomposição é única].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente vai falar sobre funções pares e ímpares, que são conceitos importantes em matemática. Uma função é par se, quando a gente troca por , ela continua igual, ou seja, . Já uma função é ímpar se, ao trocar por , a função vira o contrário, ou seja, .
Vamos precisar usar essas definições para:
  1. Verificar se algumas funções são pares ou ímpares.
  2. Dar exemplos de funções que não são nem pares nem ímpares.
  3. Mostrar que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.

Passo 2

Parte (a): Verificar se as funções são pares ou ímpares
Vamos começar verificando as duas funções:
  1. Função
    • Passo 2.1: Calcular :
    • Passo 2.2: Comparar com e :
      Isso mostra que , então a função é ímpar.
  2. Função
    • Passo 2.3: Calcular :
    • Passo 2.4: Comparar com :
      Isso mostra que , então a função é par.

Passo 3

Parte (b): Dar exemplos de funções que não são nem pares nem ímpares
Vamos pensar em funções simples e verificar se elas não se encaixam nas definições de par ou ímpar.
  1. Função
    • Verificação: Portanto, não é nem par nem ímpar.
  2. Função
    • Verificação: Na verdade, essa função é ímpar, então vamos escolher outra.
  3. Função
    • Verificação: Portanto, essa função não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Parte ©: Mostrar que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar
Vamos usar as fórmulas dadas:
  1. Mostrar que é par:
    • Calculando : Isso mostra que , então é par.
  2. Mostrar que é ímpar:
    • Calculando : Isso mostra que , então é ímpar.

Resposta

Mostramos que:
  • é uma função par.
  • é uma função ímpar.
Portanto, qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar de forma única:

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