Dizemos que uma função é par se para todo . Uma função é ímpar toda vez que para todo .
(a) Verifique que é uma função ímpar e que é par.
(b) Dê exemplos de funções que não sejam nem pares nem ímpares.
© Como você viu no item (b), nem toda função é par ou ímpar; porém sempre é possível escrever qualquer função como soma de uma função par e outra ímpar:
onde e . Mostre que de fato é uma função par e é ímpar. [Observe que esta decomposição é única].

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente vai falar sobre funções pares e ímpares, que são conceitos importantes em matemática. Uma função é par se, quando a gente troca por , ela continua igual, ou seja, . Já uma função é ímpar se, ao trocar por , a função vira o contrário, ou seja, .
Vamos precisar usar essas definições para:
  1. Verificar se algumas funções são pares ou ímpares.
  2. Dar exemplos de funções que não são nem pares nem ímpares.
  3. Mostrar que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar.

Passo 2

Parte (a): Verificar se as funções são pares ou ímpares
Vamos começar verificando as duas funções:
  1. Função
    • Passo 2.1: Calcular :
    • Passo 2.2: Comparar com e :
      Isso mostra que , então a função é ímpar.
  2. Função
    • Passo 2.3: Calcular :
    • Passo 2.4: Comparar com :
      Isso mostra que , então a função é par.

Passo 3

Parte (b): Dar exemplos de funções que não são nem pares nem ímpares
Vamos pensar em funções simples e verificar se elas não se encaixam nas definições de par ou ímpar.
  1. Função
    • Verificação: Portanto, não é nem par nem ímpar.
  2. Função
    • Verificação: Na verdade, essa função é ímpar, então vamos escolher outra.
  3. Função
    • Verificação: Portanto, essa função não é nem par nem ímpar.

Passo 4

Parte ©: Mostrar que qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar
Vamos usar as fórmulas dadas:
  1. Mostrar que é par:
    • Calculando : Isso mostra que , então é par.
  2. Mostrar que é ímpar:
    • Calculando : Isso mostra que , então é ímpar.

Resposta

Mostramos que:
  • é uma função par.
  • é uma função ímpar.
Portanto, qualquer função pode ser escrita como a soma de uma função par e uma função ímpar de forma única:

Exercícios relacionados

Denotamos por ao maior inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo . A função recebe o nome de parte inteira de . Grafique:
(a) ,
(b) ,
© .
Descreva o gráfico da função em termos do gráfico de nos seguintes casos:
(a)
(b) ,
©
(d) ,
(e)
(f)
(g) .
[nos itens © e (d) considere os casos , e ].
Descreva como seria o gráfico de uma função que seja,
(a) par;
(b) ímpar;
© não negativa;
(d) Periódica de período , isto é: , para todo .
Faça um esboço do gráfico das funções e definidas a continuação e compare seu comportamento para valores grandes de :
(a) .
(b) .