Descreva como seria o gráfico de uma função que seja,
(a) par;
(b) ímpar;
© não negativa;
(d) Periódica de período , isto é: , para todo .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para descrever como seriam os gráficos de funções com certas propriedades: serem pares, ímpares, não negativas e periódicas com período . Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre cada uma dessas características e como elas influenciam no formato do gráfico da função.

Passo 2

(a) Função Par

O que é uma função par?
Uma função é chamada de par se, para todo no domínio dela, a seguinte condição é verdadeira:
Como fica o gráfico?
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo . Ou seja, se você pegar um ponto em um lado do eixo e refletir ele para o outro lado, ele vai cair exatamente na função.
Exemplo visual:
Imagine a parábola . Se você olhar para os lados esquerdo e direito do eixo , eles são imagens espelhadas um do outro.

Passo 3

(b) Função Ímpar

O que é uma função ímpar?
Uma função é ímpar se, para todo no domínio dela, a seguinte condição vale:
Como fica o gráfico?
Nesse caso, o gráfico tem simetria central em relação à origem (ponto ). Isso significa que se você girar o gráfico 180 graus em torno da origem, ele ficará exatamente igual.
Exemplo visual:
Pense na função cúbica . Se você rotacionar o gráfico 180 graus em volta da origem, ele se sobrepõe perfeitamente.

Passo 4

© Função Não Negativa

O que significa ser não negativa?
Uma função é não negativa se, para todo no domínio dela, . Ou seja, os valores da função nunca ficam abaixo do eixo .
Como fica o gráfico?
O gráfico da função estará sempre acima ou tocando o eixo . Não há partes que vão para baixo, para valores negativos.
Exemplo visual:
Considere . O gráfico é uma “V” que toca o eixo no ponto e nunca vai para baixo.

Passo 5

(d) Função Periódica de Período

O que é uma função periódica?
Uma função é periódica com período se, para todo , a seguinte igualdade é válida:
Como fica o gráfico?
O gráfico se repete a cada intervalo de comprimento . Isso cria um padrão que continua indefinidamente para a direita e para a esquerda.
Exemplo visual:
A função seno é periódica com período . O seu gráfico oscila entre 1 e -1, repetindo esse ciclo a cada unidades.

Resposta

Resumindo, o gráfico de uma função:
(a) Par é simétrico em relação ao eixo .
(b) Ímpar tem simetria central em relação à origem.
© Não negativa está sempre acima ou tocando o eixo .
(d) Periódica repete seu padrão a cada intervalo de comprimento .

Exercícios relacionados

Dizemos que uma função é par se para todo . Uma função é ímpar toda vez que para todo .
(a) Verifique que é uma função ímpar e que é par.
(b) Dê exemplos de funções que não sejam nem pares nem ímpares.
© Como você viu no item (b), nem toda função é par ou ímpar; porém sempre é possível escrever qualquer função como soma de uma função par e outra ímpar:
onde e . Mostre que de fato é uma função par e é ímpar. [Observe que esta decomposição é única].
Denotamos por ao maior inteiro que é menor ou igual a . Por exemplo . A função recebe o nome de parte inteira de . Grafique:
(a) ,
(b) ,
© .
Faça um esboço do gráfico das funções e definidas a continuação e compare seu comportamento para valores grandes de :
(a) .
(b) .
Determine domínio e imagem das funções a seguir:
(a)
(b)
©
(d)