Descreva como seria o gráfico de uma função que seja,
(a) par;
(b) ímpar;
© não negativa;
(d) Periódica de período
, isto é:
, para todo
.
(a) par;
(b) ímpar;
© não negativa;
(d) Periódica de período
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para descrever como seriam os gráficos de funções com certas propriedades: serem pares, ímpares, não negativas e periódicas com período
. Para isso, vamos precisar entender um pouquinho sobre cada uma dessas características e como elas influenciam no formato do gráfico da função.
Passo 2
(a) Função Par
O que é uma função par?
Uma função é chamada de par se, para todo no domínio dela, a seguinte condição é verdadeira:
Uma função é chamada de par se, para todo
Como fica o gráfico?
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo . Ou seja, se você pegar um ponto em um lado do eixo
e refletir ele para o outro lado, ele vai cair exatamente na função.
Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo
Exemplo visual:
Imagine a parábola . Se você olhar para os lados esquerdo e direito do eixo
, eles são imagens espelhadas um do outro.
Imagine a parábola
Passo 3
(b) Função Ímpar
O que é uma função ímpar?
Uma função é ímpar se, para todo no domínio dela, a seguinte condição vale:
Uma função é ímpar se, para todo
Como fica o gráfico?
Nesse caso, o gráfico tem simetria central em relação à origem (ponto ). Isso significa que se você girar o gráfico 180 graus em torno da origem, ele ficará exatamente igual.
Nesse caso, o gráfico tem simetria central em relação à origem (ponto
Exemplo visual:
Pense na função cúbica . Se você rotacionar o gráfico 180 graus em volta da origem, ele se sobrepõe perfeitamente.
Pense na função cúbica
Passo 4
© Função Não Negativa
O que significa ser não negativa?
Uma função é não negativa se, para todo no domínio dela,
. Ou seja, os valores da função nunca ficam abaixo do eixo
.
Uma função é não negativa se, para todo
Como fica o gráfico?
O gráfico da função estará sempre acima ou tocando o eixo . Não há partes que vão para baixo, para valores negativos.
O gráfico da função estará sempre acima ou tocando o eixo
Exemplo visual:
Considere . O gráfico é uma “V” que toca o eixo
no ponto
e nunca vai para baixo.
Considere
Passo 5
(d) Função Periódica de Período
O que é uma função periódica?
Uma função é periódica com período se, para todo
, a seguinte igualdade é válida:
Uma função é periódica com período
Como fica o gráfico?
O gráfico se repete a cada intervalo de comprimento . Isso cria um padrão que continua indefinidamente para a direita e para a esquerda.
O gráfico se repete a cada intervalo de comprimento
Exemplo visual:
A função seno é periódica com período
. O seu gráfico oscila entre 1 e -1, repetindo esse ciclo a cada
unidades.
A função seno
Resposta
Resumindo, o gráfico de uma função:
(a) Par é simétrico em relação ao eixo
.
(b) Ímpar tem simetria central em relação à origem.
© Não negativa está sempre acima ou tocando o eixo
.
(d) Periódica repete seu padrão a cada intervalo de comprimento
.