Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a convolução entre as funções e . Esse problema está relacionado ao estudo de convolução em cálculo, que é uma operação importante em várias áreas da matemática e engenharia. Para resolver isso, precisamos entender o que é convolução e como aplicar as propriedades das transformadas de Laplace, que facilitarão nosso cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções e é definida pela integral:
Isso basicamente combina as duas funções em uma nova função, levando em conta todas as possíveis sobreposições entre elas.

Passo 3

No nosso caso, temos e . Vamos substituir essas funções na fórmula da convolução:

Passo 4

Para resolver essa integral, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace. A transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas individuais das funções. Ou seja:
Isso simplifica bastante nosso cálculo.

Passo 5

Vamos encontrar a transformada de Laplace de cada função:
Para :
Para :

Passo 6

Agora, multiplicamos as duas transformadas de Laplace:

Passo 7

Para encontrar a convolução no domínio do tempo, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace do resultado acima. Vamos decompor a fração em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos:

Passo 8

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separado:

Passo 9

Finalmente, somamos todos os termos para obter a convolução completa:

Resposta

A convolução entre e é:

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Determine os limites:
Resolva a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e . O que acontece quando ?
Determine se existe um valor de para o qual a função dada seja contínua:
Determine os limites: