Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a convolução entre as funções e . Esse problema está relacionado ao estudo de convolução em cálculo, que é uma operação importante em várias áreas da matemática e engenharia. Para resolver isso, precisamos entender o que é convolução e como aplicar as propriedades das transformadas de Laplace, que facilitarão nosso cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é convolução. A convolução de duas funções e é definida pela integral:
Isso basicamente combina as duas funções em uma nova função, levando em conta todas as possíveis sobreposições entre elas.
Passo 3
No nosso caso, temos e . Vamos substituir essas funções na fórmula da convolução:
Passo 4
Para resolver essa integral, vamos usar uma propriedade das transformadas de Laplace. A transformada de Laplace da convolução de duas funções é igual ao produto das transformadas individuais das funções. Ou seja:
Isso simplifica bastante nosso cálculo.
Passo 5
Vamos encontrar a transformada de Laplace de cada função:
Para :
Para :
Passo 6
Agora, multiplicamos as duas transformadas de Laplace:
Passo 7
Para encontrar a convolução no domínio do tempo, precisamos fazer a transformada inversa de Laplace do resultado acima. Vamos decompor a fração em frações parciais:
Resolvendo para , e , encontramos:
Passo 8
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo separado:
Passo 9
Finalmente, somamos todos os termos para obter a convolução completa: