Resolva a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e . O que acontece quando ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos pede para resolver a equação
com condições iniciais nulas ( e ), onde e são maiores que zero. Além disso, queremos saber o que acontece com quando tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e entender como encontrar soluções homogêneas e particulares.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é baseada nas raízes do polinômio característico. Para encontrar as raízes, assumimos uma solução da forma , onde é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por (que nunca é zero), obtemos:
Resolvendo para :
As raízes são imaginárias puros, o que indica que a solução homogênea será uma combinação de funções seno e cosseno:

Passo 3

Agora, vamos encontrar uma solução particular ( ) para a equação completa:
Normalmente, quando o lado direito é , tentamos uma solução particular da forma . Porém, aqui temos , que é a mesma frequência da solução homogênea. Isso significa que estamos em uma situação de ressonância, e precisamos multiplicar nossa tentativa por para encontrar a solução particular correta. Portanto, vamos supor:
Derivando :
Substituindo e na equação original e igualando os coeficientes, encontramos:
Para que essa igualdade seja válida para todos os , os coeficientes dos termos iguais devem ser iguais. Resolvendo, descobrimos que e . Portanto, a solução particular fica:

Passo 4

Agora, combinamos a solução homogênea com a solução particular para obter a solução geral da equação:
Aplicamos as condições iniciais para determinar e . Sabemos que :
E :
Derivando :
Aplicando :
Então, a solução final fica:

Resposta

Quando tende ao infinito, a solução mostra que a amplitude da oscilação cresce indefinidamente com o tempo devido à ressonância. Portanto, aumenta sem limites conforme .

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