Resolva a seguinte equação:
com condições iniciais nulas e
. O que acontece quando
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! A questão nos pede para resolver a equação
com condições iniciais nulas (
e
), onde
e
são maiores que zero. Além disso, queremos saber o que acontece com
quando
tende ao infinito. Para resolver isso, vamos precisar usar conhecimentos de equações diferenciais de segunda ordem com coeficientes constantes e entender como encontrar soluções homogêneas e particulares.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, ou seja, resolver:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação homogênea é baseada nas raízes do polinômio característico. Para encontrar as raízes, assumimos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada. Substituindo na equação, temos:
Dividindo por
(que nunca é zero), obtemos:
Resolvendo para
:
As raízes são imaginárias puros, o que indica que a solução homogênea será uma combinação de funções seno e cosseno:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular (
) para a equação completa:
Normalmente, quando o lado direito é
, tentamos uma solução particular da forma
. Porém, aqui temos
, que é a mesma frequência da solução homogênea. Isso significa que estamos em uma situação de ressonância, e precisamos multiplicar nossa tentativa por
para encontrar a solução particular correta. Portanto, vamos supor:
Derivando
:
Substituindo
e
na equação original e igualando os coeficientes, encontramos:
Para que essa igualdade seja válida para todos os
, os coeficientes dos termos iguais devem ser iguais. Resolvendo, descobrimos que
e
. Portanto, a solução particular fica:
Passo 4
Agora, combinamos a solução homogênea
com a solução particular
para obter a solução geral da equação:
Aplicamos as condições iniciais para determinar
e
. Sabemos que
:
E
:
Derivando
:
Aplicando
:
Então, a solução final fica:
Resposta
Quando
tende ao infinito, a solução
mostra que a amplitude da oscilação cresce indefinidamente com o tempo devido à ressonância. Portanto,
aumenta sem limites conforme
.
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