Determine se existe um valor de para o qual a função dada seja contínua:

Passo 1

Entendendo o Problema:
A gente precisa descobrir se existe um valor real que faz a função ser contínua em todos os pontos, especialmente em . A função está definida por partes:
Conteúdo Necessário:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções. Especificamente, vamos verificar se existe um valor de que iguala os limites laterais da função em ao valor da própria função nesse ponto.

Passo 2

Definindo Continuidade:
Uma função é contínua em um ponto se:
  1. A função está definida em (isto é, existe).
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, para ser contínua em , precisamos que:

Passo 3

Calculando o Limite pela Esquerda ( ):
Para , a função é . Então:
Sabemos que é aproximadamente .

Passo 4

Calculando o Limite pela Direita ( ):
Para , a função é . Então:

Passo 5

Verificando a Igualdade dos Limites com :
Para a continuidade em , precisamos que:
No entanto, sabemos que e não é igual a .

Passo 6

Conclusão sobre a Continuidade:
Como os limites laterais não são iguais ( ), não há nenhum valor de que possa igualar os dois limites e, consequentemente, tornar a função contínua em .

Resposta

Não existe um valor de que torne a função contínua em todos os pontos.

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Denotando por (*) a convolução entre duas funções, calcule:
Determine os limites:
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