Determine se existe um valor de para o qual a função dada seja contínua:
Passo 1
Entendendo o Problema:
A gente precisa descobrir se existe um valor real que faz a função ser contínua em todos os pontos, especialmente em . A função está definida por partes:
Conteúdo Necessário:
Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções. Especificamente, vamos verificar se existe um valor de que iguala os limites laterais da função em ao valor da própria função nesse ponto.
Passo 2
Definindo Continuidade:
Uma função é contínua em um ponto se:
A função está definida em (isto é, existe).
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
Então, para ser contínua em , precisamos que:
Passo 3
Calculando o Limite pela Esquerda ():
Para , a função é . Então:
Sabemos que é aproximadamente .
Passo 4
Calculando o Limite pela Direita ():
Para , a função é . Então:
Passo 5
Verificando a Igualdade dos Limites com :
Para a continuidade em , precisamos que:
No entanto, sabemos que e não é igual a .
Passo 6
Conclusão sobre a Continuidade:
Como os limites laterais não são iguais (), não há nenhum valor de que possa igualar os dois limites e, consequentemente, tornar a função contínua em .
Resposta
Não existe um valor de que torne a função contínua em todos os pontos.