Mostre que:
c) , onde

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para números racionais e irracionais:
Queremos mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Isso envolve conceitos de limites e funções definidas por partes, especialmente considerando os números racionais e irracionais.

Passo 2

Vamos começar analisando a expressão . Dependendo se é racional ou irracional, pode ser 1 ou 0. Então, temos duas possibilidades:
  • Se é racional, , então .
  • Se é irracional, , então .
Portanto, está sempre entre 0 e .

Passo 3

Agora, vamos utilizar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então a função no meio também tem esse limite.
No nosso caso:

Passo 4

Vamos calcular o limite das duas funções que estão confinando :
  • O limite de 0 quando se aproxima de 0 é obviamente 0.
  • O limite de quando se aproxima de 0 também é 0, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor.

Passo 5

Como tanto o limite inferior quanto o limite superior de são 0, pelo Teorema do Confronto, o limite de também deve ser 0.

Resposta

Exercícios relacionados

Calcule o limite, se existir.
b) .
Denotando por a derivada direcional da função na direção do vetor unitário , mostre que , quando .
Explique porquê a função é descontínua no número .
b) , onde .
Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada; é um inteiro positivo e é uma constante real.
17. cos