Mostre que:
c)
, onde
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente para números racionais e irracionais:
Queremos mostrar que o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a 0. Isso envolve conceitos de limites e funções definidas por partes, especialmente considerando os números racionais e irracionais.
Passo 2
Vamos começar analisando a expressão
. Dependendo se
é racional ou irracional,
pode ser 1 ou 0. Então, temos duas possibilidades:
- Se
é racional, , então . - Se
é irracional, , então .
Portanto,
está sempre entre 0 e
.
Passo 3
Agora, vamos utilizar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então a função no meio também tem esse limite.
No nosso caso:
Passo 4
Vamos calcular o limite das duas funções que estão confinando
:
- O limite de 0 quando
se aproxima de 0 é obviamente 0. - O limite de
quando se aproxima de 0 também é 0, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor.
Passo 5
Como tanto o limite inferior quanto o limite superior de
são 0, pelo Teorema do Confronto, o limite de
também deve ser 0.
Resposta
Exercícios relacionados
Calcule o limite, se existir.
b) .
b)
Denotando por
a derivada direcional da função
na direção do vetor unitário
, mostre que
, quando
.
Explique porquê a função é descontínua no número
.
b) , onde
.
b)
Use integração por partes para encontrar a transformada de Laplace da função dada;
é um inteiro positivo e
é uma constante real.
17. cos
17.