Mostre que:
c) lim x 0 x^2 f(x)=0, onde
f(x)=lll 1 & se & x in Q 0 & se & x notin Q

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função f(x) = 1 & se x in Q 0 & se x notin Q definida de forma diferente para números racionais e irracionais:
Queremos mostrar que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a 0. Isso envolve conceitos de limites e funções definidas por partes, especialmente considerando os números racionais e irracionais.

Passo 2

Vamos começar analisando a expressão . Dependendo se é racional ou irracional, pode ser 1 ou 0. Então, temos duas possibilidades:
  • Se é racional, , então .
  • Se é irracional, , então .
Portanto, está sempre entre 0 e .

Passo 3

Agora, vamos utilizar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Squeeze). Esse teorema diz que se uma função está sempre entre duas outras funções que têm o mesmo limite, então a função no meio também tem esse limite.
No nosso caso:
0 <= x^2 f(x) <= x^2

Passo 4

Vamos calcular o limite das duas funções que estão confinando limx to 0 0 = 0 :
  • O limite de 0 quando limx to 0 x^2 = 0 se aproxima de 0 é obviamente 0.
  • O limite de quando se aproxima de 0 também é 0, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor.

Passo 5

Como tanto o limite inferior quanto o limite superior de são 0, pelo Teorema do Confronto, o limite de também deve ser 0.

Resposta

limx 0 x^2 f(x) = 0

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