Denotando por x e y os lados de um retângulo cujo perímetro é igual a 100, determine o domínio e a expressão da função d(x) que fornece o comprimento da diagonal do retângulo em função de x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um retângulo com lados x e y, e o perímetro desse retângulo é 100. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a expressão da função d(x), que representa o comprimento da diagonal do retângulo em função de x. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de perímetro e da diagonal de um retângulo, além de entender o conceito de domínio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um retângulo é dado pela fórmula:
Aqui, P é o perímetro, que sabemos ser 100. Então podemos escrever:
Para simplificar, dividimos todos os termos por 2:
Agora, queremos expressar y em função de x, então isolamos y:

Passo 3

Agora que temos y em termos de x, vamos encontrar a expressão para a diagonal d(x). Sabemos que, em um retângulo, a diagonal pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo y por , temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, substituindo de volta na expressão da diagonal:

Passo 5

Agora, para determinar o domínio da função d(x), precisamos encontrar os valores de x que tornam a expressão dentro da raiz não negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real. Além disso, x e y devem ser positivos, pois são medidas de lados de um retângulo.
Então, temos:
Dividindo todos os termos por 2:
Podemos resolver essa desigualdade encontrando as raízes da equação quadrática .

Passo 6

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais. Isso significa que a expressão é sempre positiva para todo valor real de x. Portanto, a função d(x) está definida para todos os valores de x que fazem sentido no contexto, ou seja, quando x é positivo e também é positivo.

Passo 7

Para que seja positivo:
E como x também deve ser positivo:
Portanto, o domínio da função d(x) é:

Resposta

A função que fornece o comprimento da diagonal em função de x é:
E o domínio dessa função é todos os valores de x tais que:

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