Denotando por e os lados de um retângulo cujo perímetro é igual a 100, determine o domínio e a expressão da função que fornece o comprimento da diagonal do retângulo em função de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um retângulo com lados e , e o perímetro desse retângulo é 100. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a expressão da função , que representa o comprimento da diagonal do retângulo em função de . Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de perímetro e da diagonal de um retângulo, além de entender o conceito de domínio de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um retângulo é dado pela fórmula:
Aqui, é o perímetro, que sabemos ser 100. Então podemos escrever:
Para simplificar, dividimos todos os termos por 2:
Agora, queremos expressar em função de , então isolamos :

Passo 3

Agora que temos em termos de , vamos encontrar a expressão para a diagonal . Sabemos que, em um retângulo, a diagonal pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo por , temos:

Passo 4

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, substituindo de volta na expressão da diagonal:

Passo 5

Agora, para determinar o domínio da função , precisamos encontrar os valores de que tornam a expressão dentro da raiz não negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real. Além disso, e devem ser positivos, pois são medidas de lados de um retângulo.
Então, temos:
Dividindo todos os termos por 2:
Podemos resolver essa desigualdade encontrando as raízes da equação quadrática .

Passo 6

Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais. Isso significa que a expressão é sempre positiva para todo valor real de . Portanto, a função está definida para todos os valores de que fazem sentido no contexto, ou seja, quando é positivo e também é positivo.

Passo 7

Para que seja positivo:
E como também deve ser positivo:
Portanto, o domínio da função é:

Resposta

A função que fornece o comprimento da diagonal em função de é:
E o domínio dessa função é todos os valores de tais que:

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é conservativo.
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