Denotando por
e
os lados de um retângulo cujo perímetro é igual a 100, determine o domínio e a expressão da função
que fornece o comprimento da diagonal do retângulo em função de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que temos um retângulo com lados
e
, e o perímetro desse retângulo é 100. Nosso objetivo é encontrar o domínio e a expressão da função
, que representa o comprimento da diagonal do retângulo em função de
. Para resolver isso, vamos precisar usar fórmulas de perímetro e da diagonal de um retângulo, além de entender o conceito de domínio de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um retângulo é dado pela fórmula:
Aqui,
é o perímetro, que sabemos ser 100. Então podemos escrever:
Para simplificar, dividimos todos os termos por 2:
Agora, queremos expressar
em função de
, então isolamos
:
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, vamos encontrar a expressão para a diagonal
. Sabemos que, em um retângulo, a diagonal pode ser encontrada usando o Teorema de Pitágoras:
Substituindo
por
, temos:
Passo 4
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Então, substituindo de volta na expressão da diagonal:
Passo 5
Agora, para determinar o domínio da função
, precisamos encontrar os valores de
que tornam a expressão dentro da raiz não negativa, já que a raiz quadrada de um número negativo não é real. Além disso,
e
devem ser positivos, pois são medidas de lados de um retângulo.
Então, temos:
Dividindo todos os termos por 2:
Podemos resolver essa desigualdade encontrando as raízes da equação quadrática
.
Passo 6
Calculando o discriminante:
Como o discriminante é negativo, a equação não possui raízes reais. Isso significa que a expressão
é sempre positiva para todo valor real de
. Portanto, a função
está definida para todos os valores de
que fazem sentido no contexto, ou seja, quando
é positivo e
também é positivo.
Passo 7
Para que
seja positivo:
E como
também deve ser positivo:
Portanto, o domínio da função
é:
Resposta
A função que fornece o comprimento da diagonal em função de
é:
E o domínio dessa função é todos os valores de
tais que:
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, é posto em uma fonte de calor. Neste experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido
, em calorias, para que a amostra atinja temperatura
, em
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.
Determine a expressão de , para
.
Determine a expressão de
é conservativo.
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