Um grama de gelo, inicialmente a -40 °C, é posto em uma fonte de calor. Neste experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido Q(T), em calorias, para que a amostra atinja temperatura T, em C. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua temperatura em 2º C. Quando atinge 0 graus C, são necessárias mais 80 cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a água necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em 1º C.
Determine a expressão de Q(T), para T in [-40, 80].

Passo 1

Então, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos 1 grama de gelo começando a -40°C que vai ser aquecido até uma temperatura entre -40°C e 80°C. O objetivo é encontrar a quantidade mínima de calor necessária para esse aquecimento. Vamos precisar entender como o calor afeta o gelo e a água durante esse processo, incluindo a mudança de fase de gelo para água.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar o aquecimento do gelo de -40°C até 0°C. Sabemos que para cada 1 cal de calor, a temperatura do gelo aumenta em 2°C. Então, para aumentar a temperatura em , a quantidade de calor necessária é .

Passo 3

Calculando o calor necessário para ir de -40°C até 0°C:

Passo 4

Agora, ao chegar em 0°C, o gelo começa a derreter. A questão informa que são necessárias mais 80 cal para o derretimento total do gelo em 0°C. Então, adicionamos esse calor ao :
é

Passo 5

Depois que o gelo derrete e vira água a 0°C, precisamos aquecer a água de 0°C até a temperatura final . Para a água, cada 1 cal aumenta a temperatura em 1°C. Então, o calor necessário para essa parte é simplesmente cal.

Passo 6

Juntando tudo, temos duas situações:
  1. Para entre -40°C e 0°C:
Aqui, representa o aumento de temperatura desde -40°C até , e dividimos por 2 porque cada cal aumenta a temperatura em 2°C.
  1. Para entre 0°C e 80°C:
Aqui, 100 cal são os 20 cal para aquecer até 0°C mais os 80 cal para derreter o gelo, e cal para aquecer a água de 0°C até .

Resposta

A expressão de para é dada por:

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