é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o campo vetorial
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
cuja derivada é igual a
. Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de campos conservativos e as condições necessárias para que um campo seja conservativo. Precisamos encontrar a função
que faz com que
seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
Isso é conhecido como a condição de conservatividade baseada na igualdade das derivadas cruzadas.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
e igualá-las.
Passo 4
Calculando
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é zero, já que não depende de
.
Passo 5
Agora, calculamos
:
Segundo a condição de conservatividade, temos que:
Passo 6
Para encontrar
, integramos a equação
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao integrar em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 7
Como não temos mais informações sobre
, podemos concluir que:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Resposta
A função
que torna o campo
conservativo é:
Onde
é uma função qualquer que depende apenas de
.