F = (y * e^(2 * x) + 3 * x^(2) * e^(x)) * i + N(x, y) * j
é conservativo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o campo vetorial é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial cuja derivada é igual a . Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de campos conservativos e as condições necessárias para que um campo seja conservativo. Precisamos encontrar a função que faz com que seja conservativo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial é conservativo se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
Isso é conhecido como a condição de conservatividade baseada na igualdade das derivadas cruzadas.

Passo 3

No nosso caso, temos:
Precisamos calcular as derivadas parciais e e igualá-las.

Passo 4

Calculando :
Aqui, a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero, já que não depende de .

Passo 5

Agora, calculamos :
Segundo a condição de conservatividade, temos que:

Passo 6

Para encontrar , integramos a equação em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de , já que ao integrar em relação a , a constante de integração pode ser uma função de .

Passo 7

Como não temos mais informações sobre , podemos concluir que:
Onde é uma função arbitrária de .

Resposta

A função que torna o campo conservativo é:
Onde é uma função qualquer que depende apenas de .

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