é conservativo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o campo vetorial
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
cuja derivada é igual a
. Para resolver esse problema, vamos usar o conceito de campos conservativos e as condições necessárias para que um campo seja conservativo. Precisamos encontrar a função
que faz com que
seja conservativo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um campo vetorial
é conservativo se e somente se as seguintes condições forem satisfeitas:
Isso é conhecido como a condição de conservatividade baseada na igualdade das derivadas cruzadas.
Passo 3
No nosso caso, temos:
Precisamos calcular as derivadas parciais
e
e igualá-las.
Passo 4
Calculando
:
Aqui, a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é zero, já que não depende de
.
Passo 5
Agora, calculamos
:
Segundo a condição de conservatividade, temos que:
Passo 6
Para encontrar
, integramos a equação
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
, já que ao integrar em relação a
, a constante de integração pode ser uma função de
.
Passo 7
Como não temos mais informações sobre
, podemos concluir que:
Onde
é uma função arbitrária de
.
Resposta
A função
que torna o campo
conservativo é:
Onde
é uma função qualquer que depende apenas de
.
Exercícios relacionados
Um grama de gelo, inicialmente a
, é posto em uma fonte de calor. Neste experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido
, em calorias, para que a amostra atinja temperatura
, em
. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua temperatura em
. Quando atinge
, são necessárias mais 80 cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a água necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em
.
Calcule e
.
Calcule
Considerando
, determine a expressão e o domínio de cada uma das funções abaixo.
Um grama de gelo, inicialmente a
, é posto em uma fonte de calor. Neste experimento, observa-se a menor quantidade de calor absorvido
, em calorias, para que a amostra atinja temperatura
, em
. Sabe-se que a cada 1 cal, o gelo aumenta sua temperatura em
. Quando atinge
, são necessárias mais 80 cal para o derretimento total (que ocorre sob temperatura constante). Depois de liquefeita, a água necessita de 1 cal para aumentar sua temperatura em
.
Determine a expressão de , para
.
Determine a expressão de
Denotando por
e
os lados de um retângulo cujo perímetro é igual a 100, determine o domínio e a expressão da função
que fornece o comprimento da diagonal do retângulo em função de
.