Denotemos por e , os funcionais escalares canônicos definidos como segue: e de modo que para todo ,
Para cada ponto , defina o funcional linear
dado por
ou seja, é uma combinação linear da base dual canônica do que, por definição,
Para uma curva , define-se
Calcular em cada ítem seguinte:
(b) cost, sent,
Dê uma interpretação física para esta modalidade de integral indicando os entes físicos na referida ilustração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma forma linear ao longo de uma curva para no intervalo . Aqui, estamos trabalhando com formas lineares e integrais de linha na matemática, que são conceitos de álgebra linear e cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a forma na curva e integrar o resultado ao longo do intervalo dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é . A forma linear está definida como:
Isso significa que, para qualquer vetor , temos:
Aqui, são as formas diferenciais que pegam as componentes do vetor.
Passo 3
Agora, vamos parametrizar a curva , onde varia de a . A derivada será:
Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto .
Passo 4
Para calcular a integral , usamos a definição:
Vamos substituir e na expressão de :
Onde , , , e .
Passo 5
Vamos calcular cada termo separadamente:
Agora, somando todos os termos:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos separar a integral em três partes:
Passo 7
Vamos resolver cada integral separadamente.
Integral 1:
Podemos usar a substituição , :
(O intervalo se retorna a zero, então )
Integral 2:
Usamos a identidade :
A primeira parte:
A segunda parte, usamos integração por partes:
Avaliada de a :
Então,
Integral 3:
Usamos integração por partes:
Então:
Avaliada de a :
Resposta
Somando todas as integrais:
Interpretação Física: Essa integral representa o trabalho realizado por um campo de forças definido por ao longo da curva . Neste contexto, os “entes físicos” seriam as forças associadas aos componentes agindo sobre um objeto que se move ao longo da trajetória helicoidal dada por . O valor quantifica o total desse trabalho realizado durante uma volta completa da hélice.