Denotemos por d x, d y e d z, os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
d x: R^3 longrightarrow R, d y: R^3 longrightarrow R e d z: R^3 longrightarrow R de modo que para todo v=(v1, v2, v3) in R^3,
d x(v)=v1, d y(v)=v2 e d z(v)=v3
Para cada ponto P=(x, y, z) in R^3, defina o funcional linear
phi(x, y, z): R^3 longrightarrow R
dado por
phi(x, y, z)=x y d x+x z d y+y z d z
ou seja, phi é uma combinação linear da base dual canônica do (R^3)^star que, por definição,
phi(x, y, z)(v)=x y d x(v)+x z d y(v)+y z d z(v)
Para uma curva alpha:[a, b] longrightarrow R^3, define-se
integralalpha phi=integrala^b phialpha(t)(alpha^prime(t)) d t
Calcular integralalpha phi em cada ítem seguinte:
(b) alpha(t)=( cost, sent, t), t in[0,2 pi]
Dê uma interpretação física para esta modalidade de integral indicando os entes físicos na referida ilustração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de uma forma linear ao longo de uma curva para no intervalo . Aqui, estamos trabalhando com formas lineares e integrais de linha na matemática, que são conceitos de álgebra linear e cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a forma na curva e integrar o resultado ao longo do intervalo dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é phi(x, y, z) = x y , dx + x z , dy + y z , dz . A forma linear phi(x, y, z)(v) = x y v1 + x z v2 + y z v3 está definida como:
Isso significa que, para qualquer vetor , temos:
Aqui, são as formas diferenciais que pegam as componentes do vetor.

Passo 3

Agora, vamos parametrizar a curva alpha'(t) = ( -sin t, cos t, 1 ) , onde varia de a . A derivada será:
Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto .

Passo 4

Para calcular a integral integralalpha phi = integral0^2pi phialpha(t)( alpha'(t) ) dt , usamos a definição:
phialpha(t)( alpha'(t) ) = x(t) y(t) v1 + x(t) z(t) v2 + y(t) z(t) v3
Vamos substituir e na expressão de :
Onde , , , e .

Passo 5

Vamos calcular cada termo separadamente:
x(t) y(t) v1 = cos t cdot sin t cdot (-sin t) = -cos t sin^2 t
x(t) z(t) v2 = cos t cdot t cdot cos t = t cos^2 t
y(t) z(t) v3 = sin t cdot t cdot 1 = t sin t
Agora, somando todos os termos:
phialpha(t)( alpha'(t) ) = -cos t sin^2 t + t cos^2 t + t sin t

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de integral0^2pi ( -cos t sin^2 t + t cos^2 t + t sin t ) dt a I = -integral0^2pi cos t sin^2 t , dt + integral0^2pi t cos^2 t , dt + integral0^2pi t sin t , dt :
Vamos separar a integral em três partes:

Passo 7

Vamos resolver cada integral separadamente.
Integral 1:
I1 = -integral0^2pi cos t sin^2 t , dt
Podemos usar a substituição I1 = -integralu=0^u=0 u^2 , du = 0 , I2 = integral0^2pi t cos^2 t , dt :
I2 = 12 integral0^2pi t (1 + cos 2t) , dt = 12 ( integral0^2pi t , dt + integral0^2pi t cos 2t , dt )
(O intervalo se retorna a zero, então integral0^2pi t , dt = t^22 |0^2pi = 2pi^2 )
Integral 2:
integral t cos 2t , dt = t sin 2t2 - cos 2t4
Usamos a identidade [ 2pi sin 4pi2 - cos 4pi4 ] - [ 0 - cos 04 ] = 0 - 14 - ( -14 ) = 0 :
I3 = integral0^2pi t sin t , dt
A primeira parte:
u = t Rightarrow du = dt
A segunda parte, usamos integração por partes:
dv = sin t , dt Rightarrow v = -cos t
Avaliada de I3 = -t cos t + integral cos t , dt = -t cos t + sin t a [-2pi cos 2pi + sin 2pi] - [0 + 0] = -2pi (1) + 0 - 0 = -2pi :
Então,
Integral 3:
Usamos integração por partes:
Então:
Avaliada de a :

Resposta

Somando todas as integrais:
integralalpha phi = I1 + I2 + I3 = 0 + pi^2 - 2pi = pi^2 - 2pi
Interpretação Física: Essa integral representa o trabalho realizado por um campo de forças definido por ao longo da curva . Neste contexto, os “entes físicos” seriam as forças associadas aos componentes agindo sobre um objeto que se move ao longo da trajetória helicoidal dada por . O valor quantifica o total desse trabalho realizado durante uma volta completa da hélice.

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