1^2 Questāo: ( 30 pontos) Calcule os limites abaixo.
b) (10 pontos) lim x 2 raizx+2-2raizx-raiz2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando limx to 2 raizx+2 - 2raizx - raiz2 se aproxima de 2 da expressão:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes precisamos racionalizar o numerador ou o denominador para simplificar a expressão.
O que vamos precisar: Conhecer o conceito de limite, saber manipular expressões com raízes quadradas e aplicar a racionalização para simplificar a fração.

Passo 2

Vamos verificar o que acontece quando substituímos raiz2+2 - 2raiz2 - raiz2 = raiz4 - 20 = 2 - 20 = 00 diretamente na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos racionalizar o numerador e o denominador separadamente para simplificar a expressão. Primeiro, racionalizamos o numerador:
Multiplicamos o numerador e o denominador por raizx+2 - 2raizx - raiz2 times raizx+2 + 2raizx+2 + 2 = (raizx+2 - 2)(raizx+2 + 2)(raizx - raiz2)(raizx+2 + 2) :
(x + 2) - 4(raizx - raiz2)(raizx+2 + 2) = x - 2(raizx - raiz2)(raizx+2 + 2)
Aplicando a identidade :

Passo 4

Agora, vamos observar que o numerador x - 2(raizx - raiz2)(raizx+2 + 2) times raizx + raiz2raizx + raiz2 = (x - 2)(raizx + raiz2)(x - 2)(raizx+2 + 2) pode ser fatorado a partir do denominador. Para isso, vamos racionalizar o denominador raizx + raiz2raizx+2 + 2 multiplicando e dividindo por :
Cancelando no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, podemos substituir raiz2 + raiz2raiz4 + 2 = 2raiz22 + 2 = 2raiz24 = raiz22 na expressão simplificada:

Resposta

O limite é .

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