Questāo: ( 30 pontos) Calcule os limites abaixo.
b)
pontos)
.
b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando
se aproxima de 2 da expressão:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com limites envolvendo funções com raízes quadradas. Para resolver esse tipo de limite, muitas vezes precisamos racionalizar o numerador ou o denominador para simplificar a expressão.
O que vamos precisar: Conhecer o conceito de limite, saber manipular expressões com raízes quadradas e aplicar a racionalização para simplificar a fração.
Passo 2
Vamos verificar o que acontece quando substituímos
diretamente na expressão:
Obtemos uma forma indeterminada
, o que significa que precisamos manipular a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos racionalizar o numerador e o denominador separadamente para simplificar a expressão. Primeiro, racionalizamos o numerador:
Multiplicamos o numerador e o denominador por
:
Aplicando a identidade
:
Passo 4
Agora, vamos observar que o numerador
pode ser fatorado a partir do denominador. Para isso, vamos racionalizar o denominador
multiplicando e dividindo por
:
Cancelando
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, podemos substituir
na expressão simplificada:
Resposta
O limite é
.