Seja f: R R uma função definida como
f(x)=rll 3 x+2 a+b, & se & x in(-infty, 1) -1, & se & x=1 x-a+b, & se & x in(1,+infty)
Determine o valor de a e b para que f seja contínua no ponto x=1. Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de e de forma que a função seja contínua no ponto . Isso significa que não pode ter “saltos” ou descontinuidades naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como igualar os limites laterais à função no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, . A função está definida no ponto como . Agora, vamos calcular os limites quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( f(x) = 3x + 2a + b ):
Para limx to 1^- f(x) = 3(1) + 2a + b = 3 + 2a + b , a função é dada por:
f(x) = x - a + b
Vamos calcular o limite quando limx to 1^+ f(x) = 1 - a + b se aproxima de 1:
Calculando o limite pela direita ( ):
Para , a função é dada por:
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:

Passo 4

Para que a função seja contínua em 3 + 2a + b = -1 , os dois limites que acabamos de calcular devem ser iguais ao valor da função no ponto, que é 1 - a + b = -1 . Portanto, temos as seguintes equações:
  1. Igualando o limite pela esquerda a :
  1. Igualando o limite pela direita a :

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3 + 2a + b = -1 1 - a + b = -1
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, simplificamos as equações:
  1. (subtraindo 3 de ambos os lados)
  2. (subtraindo 1 de ambos os lados)

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
2a + b = -4 -a + b = -2
Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar (2a + b) - (-a + b) = -4 - (-2) :
2a + b + a - b = -4 + 2
3a = -2
a = -23

Passo 7

Agora que encontramos -a + b = -2 , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar -(-23) + b = -2 . Vamos usar a segunda equação:
23 + b = -2
b = -2 - 23
b = -83

Resposta

Os valores que tornam a função contínua no ponto a = -23 e b = -83 são:

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