Determine o valor de e para que seja contínua no ponto . Justifique sua resposta!
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de e de forma que a função seja contínua no ponto . Isso significa que não pode ter “saltos” ou descontinuidades naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como igualar os limites laterais à função no ponto em questão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
está definida.
O limite de quando se aproxima de existe.
O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, . A função está definida no ponto como . Agora, vamos calcular os limites quando se aproxima de 1 pela esquerda () e pela direita ().
Passo 3
Calculando o limite pela esquerda ():
Para , a função é dada por:
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:
Calculando o limite pela direita ():
Para , a função é dada por:
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:
Passo 4
Para que a função seja contínua em , os dois limites que acabamos de calcular devem ser iguais ao valor da função no ponto, que é . Portanto, temos as seguintes equações:
Igualando o limite pela esquerda a :
Igualando o limite pela direita a :
Passo 5
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, simplificamos as equações:
(subtraindo 3 de ambos os lados)
(subtraindo 1 de ambos os lados)
Passo 6
Vamos resolver o sistema:
Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar :
Passo 7
Agora que encontramos , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar . Vamos usar a segunda equação:
Resposta
Os valores que tornam a função contínua no ponto são: