Seja uma função definida como
Determine o valor de e para que seja contínua no ponto . Justifique sua resposta!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos os valores de e de forma que a função seja contínua no ponto . Isso significa que não pode ter “saltos” ou descontinuidades naquele ponto. Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como igualar os limites laterais à função no ponto em questão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .
No nosso caso, . A função está definida no ponto como . Agora, vamos calcular os limites quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ).

Passo 3

Calculando o limite pela esquerda ( ):
Para , a função é dada por:
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:
Calculando o limite pela direita ( ):
Para , a função é dada por:
Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1:

Passo 4

Para que a função seja contínua em , os dois limites que acabamos de calcular devem ser iguais ao valor da função no ponto, que é . Portanto, temos as seguintes equações:
  1. Igualando o limite pela esquerda a :
  1. Igualando o limite pela direita a :

Passo 5

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, simplificamos as equações:
  1. (subtraindo 3 de ambos os lados)
  2. (subtraindo 1 de ambos os lados)

Passo 6

Vamos resolver o sistema:
Subtraímos a segunda equação da primeira para eliminar :

Passo 7

Agora que encontramos , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar . Vamos usar a segunda equação:

Resposta

Os valores que tornam a função contínua no ponto são:

Exercícios relacionados

Questāo: ( 30 pontos) Calcule os limites abaixo.
a) pontos
Calcule para a função .
Denotemos por e , os funcionais escalares canônicos definidos como segue:
e de modo que para todo ,
Para cada ponto , defina o funcional linear
dado por
ou seja, é uma combinação linear da base dual canônica do que, por definição,
Para uma curva , define-se
Calcular em cada ítem seguinte:
(b) cost, sent,
Dê uma interpretação física para esta modalidade de integral indicando os entes físicos na referida ilustração.
Sejam três funções onde:
Determine: